バリアンス・ガンマ

バリアンス・ガンマ (VG) には拡散成分がまったくありません。価格はジャンプとジャンプの間を滑らかに動くのではなく、すべての値動きがジャンプです。ジャンプはランダムな時計に従って発生します。活動が活発な時期には時間が速く進み、閑散とした時期にはゆっくり進みます。このランダムな時計により、Merton のような「ジャンプサイズ分布」を必要とせずにファットテールが生まれます。その結果得られるボラティリティ・サーフェスは、実際の市場のスキューと尖度を同時に再現できます。

すべては3つのパラメータで決まります。ボラティリティ (sigma)、スキュー (theta)、尖度 (nu) です。

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ランダムな時計という考え方

市場には独自の内部時計があり、その速度はランダムに変わります。忙しい日は時計が速く進み、価格は大きく動きます。静かな日は時計がほとんど進みません。VG とは、ランダムな時計の上で動く Black-Scholes です。暴落やジャンプサイズについて何も仮定しなくても、ファットテールと自然なスマイルが得られます。

パラメータを探索する

まず「Thin tails」を選んで Black-Scholes に近い状態を確認してください。次に nu (尖度) を大きくすると、ウィングが持ち上がる様子が見られます。

バリアンス・ガンマ・スマイル・エクスプローラー

負のスキューとファットテールの組み合わせです。典型的なクリプトのスマイル：プット側の翼が急で、コール側の翼も高くなります。

ボラティリティ0.45

全体のボラティリティ水準。高いほど＝すべてが割高になります。

θ（スキュー）-0.15

負＝プット・スキュー。スマイルのどちら側が急になるかを決めます。

ν（尖度）0.30

テールの厚さを制御します。高いほど＝より極端な変動、より急な翼になります。

「薄いテール」でほぼフラットなブラック・ショールズを確認し、次に ν を上げて過剰尖度によって両翼が持ち上がる様子をご覧ください。

各パラメータの役割

• Sigma (ボラティリティ)： 時計が通常の速度で進むときの基準ボラティリティです。全体の水準を決めるもので、ATM ボラティリティに相当します。
• Theta (スキュー)： 過程のドリフトです。theta が負の場合、一定の時間ステップで市場は上昇よりも下落しやすくなります。これによりプットスキューが生じ、左側のウィングが右側より急になります。
• Nu (尖度)： 時計がどれだけ「ランダム」かを制御します。nu が低いと時計は一定のペースで進みます (テールは薄く、Black-Scholes に近い)。nu が高いと時計は非常に不規則になります (ファットテール、急なウィング)。OTM オプションは大幅に割高になります。

パラメータ

制御対象

スマイルへの影響

σ (sigma)

ボラティリティ水準

スマイル全体を上下にシフト

θ (theta)

スキュー / 非対称性

負 = プット側ウィングが急。ゼロ = 対称。

ν (nu)

テールの厚さ

高い = 両側のウィングが上昇。ゼロ = 超過尖度なし (Black-Scholes)。

なぜ純粋ジャンプなのか

Black-Scholes や Merton でさえ、連続的な拡散成分を仮定しています。つまり、価格はほとんどの時間滑らかに動き、ときおりジャンプする、という前提です。VG は、価格の動きはすべて不連続なのかもしれない、と考えます。ティック単位で見ると、価格はある水準から次の水準へジャンプしており、約定と約定の間に滑らかな経路はありません。そのため デルタヘッジは構造的に不完全になります。ペイオフを連続的に複製することはできません。

これは暗号資産市場の実際の動き方をよく表しています。特に、オーダーブックが薄く価格がある水準から別の水準へ飛ぶ低流動性ペアでは顕著です。

ℹ️

3つのパラメータ、3つのモーメント

VG が優れているのは、各パラメータがリターンの統計的性質に直接対応している点です。sigma は分散 (2次モーメント)、theta は歪度 (3次モーメント)、nu は超過尖度 (4次モーメント) を制御します。冗長性がなく、パラメータ間の相関に悩まされることもありません。

VG と他のモデルの比較

バリアンス・ガンマ

Merton

Black-Scholes

価格経路

純粋ジャンプ (ランダムな時計)

拡散 + ときおりのジャンプ

滑らかな拡散のみ

テールの挙動

時計のランダム性によるファットテール

離散的なジャンプによるファットテール

薄い (正規分布) テール

パラメータ

3 (sigma, theta, nu)

4 (sigma, lambda, mu_J, sigma_J)

1 (sigma)

スマイルの形状

滑らか、3つのつまみで制御

短期は急、長期は減衰

フラット (スマイルなし)

適した用途

一般的なスマイルのフィッティング、低流動性

イベントリスク、短期オプション

手早い概算、流動性の高い市場

実務での VG

伝統的なデスクでは Heston や SABR ほど一般的ではありませんが、VG は暗号資産とクレジットの分野で独自の地位を占めています。

ユースケース

VG を使う理由

低流動性ペアの暗号資産オプション

純粋ジャンプの性質が、飛び飛びの値動きに合致します。連続的な拡散を無理に想定する必要がありません。

クレジット・デリバティブ

デフォルトはジャンプ事象です。VG は不連続なペイオフを自然に扱えます。

3パラメータによる手早いスマイルフィット

Heston (5) や Merton (4) よりパラメータが少なく、各パラメータの意味が明確です。

モーメント・マッチング

分散、歪度、尖度を直接制御できるため、キャリブレーションが直感的です。

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1つのモーメントに1つのパラメータ

VG の各パラメータは、リターンの統計的性質をちょうど1つずつ制御します。あらゆるスマイルモデルの中で、スキューとテールの厚さを最もきれいに分離できます。ベガ・エクスポージャーは、インプライド・ボラティリティのスマイルがフラットでないため、VG のもとでは Black-Scholes と異なります。Black-Scholes 以上のものが欲しいが Heston や SLV ほどの複雑さは不要、という場合に VG が適しています。

方程式エクスプローラー

インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格を相互に変換できます。

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

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次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: バリアンス・ガンマにおける'ランダムな時計'とは何ですか。また、なぜそれがファットテールを生むのですか。

Q: theta がゼロで nu が高い場合、スマイルはどのような形になりますか。

Q: 低流動性ペアの暗号資産オプションでは、なぜ VG の方が Merton より適している可能性があるのですか。

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的な直感を養う

バリアンス・ガンマを基礎から学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、ランダムな時計というメンタルモデルを通じてバリアンス・ガンマを学び、 theta、sigma、nu がそれぞれスキュー、通常の値動きの大きさ、テールの厚さを どのように制御するかを解説します。

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関連項目：

• Black-Scholes：拡散のみのベースライン
• Merton ジャンプ拡散：拡散にジャンプを加えたモデル
• Heston モデル：確率ボラティリティ (拡散ベース)
• 補間手法：全モデルの比較