確率的ボラティリティ・モデル
ボラティリティは動きます。暴落時には急騰し、静かな局面では縮小し、時間とともに平均へ回帰します。確率的ボラティリティ・モデルは、ボラティリティそのものを価格と並行して変化するランダムな過程として扱います。
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ランダムなボラティリティがスマイルを生む
Black-Scholes はボラティリティを一定と仮定するため、スマイルは生じません。ボラティリティをランダムにした瞬間、スマイルが現れます。このセクションのモデルはすべてこれを実現しており、違いはボラティリティがどのように動くかについての仮定にあります。
系譜
共通点
すべての確率的ボラティリティ・モデルは同じ基本構造を持っています。価格過程にはランダムなボラティリティ成分があり、そのボラティリティ成分自体が独自の確率過程に従います。違いは、そのボラティリティ過程の形にあります。
選び方
- 現在のスマイルにフィットさせたいだけですか? → 確率的ボラティリティ・モデルではなく、おそらく SVI が適しています。
- スマイルがどう動くかを予測したいですか? → SABR が標準です。
- 期間構造全体にわたってエキゾチックを価格付けしますか? → Bates または SLV を使います。
- 実務用のエキゾチック・プライサーを構築しますか? → 多くのデスクが使っているのは 確率局所ボラティリティ(ハイブリッド)です。
- 短期スキューがなぜ急なのかを理解したいですか? → Rough Bergomi を参照してください。
- 基礎を学びたいですか? → Heston から始めてください。他のモデルはすべてこれを土台にしています。
モデル同士の関係
Heston が基礎です。Bates は Heston にジャンプを加えます。SABR は別のアプローチを取り、平均回帰はありませんが、ボラティリティを価格水準に結びつけるバックボーンを持ちます。ZABR は SABR のバックボーンを一般化します。Rough Bergomi はボラティリティ過程全体を、よりラフで実証的な裏付けのあるものに置き換えますが、実務で使うには遅すぎます。
暗号資産では、スマイルの動学を理解し SVI フィットを初期化するうえで SABR が最も重要です。Bates はジャンプを必要とするエキゾチック・デスクにとって重要です。Heston と Rough Bergomi は概念的なモデルで、スマイルがなぜあのような形になるのかを説明します。
このセクションのモデル:
- Heston モデル - 元祖の確率的ボラティリティ・モデル
- Bates モデル - ギャップリスクに対応する Heston + ジャンプ
- SABR モデル - 金利と FX 向けの動的スマイル・モデル
- ZABR モデル - 柔軟なバックボーンを持つ SABR
- Rough Bergomi - ラフ・ボラティリティ(理論の最前線)