確率局所ボラティリティ (SLV)
SLVは、多くの実務デスクで実際に稼働しているモデルです。局所ボラティリティと確率ボラティリティを組み合わせたもので、どちらか単独では実際のトレーディングには不十分です。目標は、今日の市場にフィットし、かつ現実的に動くボラティリティ・サーフェスを得ることです。
局所ボラティリティは今日にフィットし、確率ボラティリティは正しく動き、SLVはその両方を実現します
局所ボラティリティは今日のスマイルを正確に捉えますが、ダイナミクスを誤ります(スポットに対してスマイルが動きすぎます)。確率ボラティリティはダイナミクスを正しく捉えますが、スマイルを誤ります(スキューが不足します)。SLVはこの2つを混合します。
混合の様子を見てみましょう
スライダーを純粋な局所ボラティリティと純粋な確率ボラティリティの間で動かしてください。
SLVミキシング・デモ
緑のSLV曲線は、オレンジのローカルボラのスマイルと青の確率的ボラのスマイルの間をブレンドします。多くのデスクは50/50付近で運用しています。
表示内容の見方
- オレンジの破線(局所ボラティリティ): Dupireの局所ボラティリティ・スマイルです。急峻で現実的な形状をしており、今日の市場に完全に一致します。しかし、スポットが動いてもスマイルはほとんど動かないことを示唆しており、これは誤りです。
- 青の破線(確率ボラティリティ): Heston型のスマイルです。より滑らかで、スキューは小さめです。スマイルの動きはよく予測しますが、単独では現在の市場の形状に一致させることができません。
- 緑の実線(SLVブレンド): 実務で使われるモデルです。両者の加重混合です。50/50にすると、今日の市場にフィットし、かつ現実的に動くスマイルが得られます。
なぜ片方だけでは不十分なのか
混合の仕組み
確率ボラティリティモデル(Hestonなど)を用意し、そのインプライド・ボラティリティに、局所ボラティリティから導出したレバレッジ関数を掛け合わせます。レバレッジ関数は、ブレンドが今日の市場に正確に一致するようにするための比率です。
- 混合比率が0に近い(局所ボラティリティ寄り): レバレッジ関数がほとんどの役割を担います。スマイルは完全にフィットしますが、非現実的に動きます。
- 混合比率が1に近い(確率ボラティリティ寄り): レバレッジ関数はほぼ平坦です(どこでも1に近い値)。スマイルは完全にはフィットしないかもしれませんが、ダイナミクスは現実的です。
- 混合比率が0.5前後: 多くのデスクが狙うスイートスポットです。フィットもダイナミクスも良好です。
キャリブレーションの役割を担うのはレバレッジ関数です
レバレッジ関数 は、確率ボラティリティ成分では説明できない部分をすべて吸収します。レバレッジ関数が平坦であれば、確率ボラティリティがすべての役割を担っています。大きく変動していれば、局所ボラティリティがすべての役割を担っています。実務では、ATM付近で緩やかに変動している状態が望ましく、それは混合のバランスが取れていることを意味します。
混合比率が重要になるのはいつか
バニラのヨーロピアン・オプションでは、ほとんど影響しません。今日のスマイルにフィットする混合であれば、どれも同じ価格を付けます。混合比率が重要になるのは、スマイルのダイナミクスが価格に影響する経路依存型商品です。エキゾチック商品では、デルタやベガのヘッジが混合比率によって大きく異なることがあります。
長所と限界
方程式エクスプローラー
インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格を相互に変換します。
数式エクスプローラー
💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。
数学的直感を養う
SLVを基礎から学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要ですこのレッスンでは、局所ボラティリティと確率ボラティリティがそれぞれ単独では なぜうまくいかないのかを説明し、そのうえでレバレッジ関数が両者をどのように混合して、 多くのエキゾチック・デスクが実際に使っている実務モデルになるのかを示します。
関連項目:
- SABRモデル -- バックボーンを持つ確率ボラティリティ
- Hestonモデル -- 最も一般的な純粋確率ボラティリティモデル
- 局所ボラティリティ -- Dupireの決定論的アプローチ
- サーフェスの構築方法 -- パイプライン全体