SSVI (Surface SVI)

SSVIをゼロから学ぶインタラクティブなレッスン · SVIの基礎知識が前提です

情報

SSVIはSVIをサーフェス全体に拡張したものです。スライス単位のモデルに馴染みがない場合は、まずそちらをご覧ください。サーフェス構築パイプライン全体については、サーフェスの構築方法を参照してください。

SSVI (Surface SVI) は、SVIスマイル・モデルを個々の満期スライスからボラティリティ・サーフェス全体へと拡張したものです。最大の利点は、カレンダー・アービトラージが生じないことが構造上保証される点です。各スライスを個別にフィットしてから、満期間の不整合を事後的に修正する必要は一切ありません。

SSVIが解決する問題

スライス単位のSVIでは、各満期を個別にフィットします。各スライスは単体では整合的 (バタフライ・アービトラージなし) であっても、スライス同士が矛盾することがあります。具体的には、ある行使価格でのトータル・バリアンスが、ある満期から次の満期にかけて減少してしまい、カレンダー・アービトラージが発生する可能性があります。

これを事後的に修正する (事後調整) 方法は脆弱です。あるスライスを少し動かすとフィットが変わり、それが別の箇所で新たな違反を生む可能性があります。SSVIはサーフェスを一体としてモデル化することで、この問題を根本から回避します。

仕組み

SSVIは、トータル・バリアンスを対数マネーネス $k$ とATMトータル・バリアンス $\theta_t$ の両方の関数として表します。

核となる発想は次のとおりです。スライスごとに5つのパラメータをフィットする (5つの満期なら25パラメータ) のではなく、SSVIは少数のグローバル・パラメータとATMトータル・バリアンス曲線 $\theta_t$ だけでサーフェス全体をパラメータ化します。

各要素の役割

$\theta_t$ (ATMトータル・バリアンス曲線): 期間構造の骨格です。 $t$ に対して増加している必要があります (基本的な無裁定条件)。ATMオプションの価格から直接観測できます。

$\rho$ (スキュー): スマイルの傾きを制御する単一のパラメータで、全満期で共通です。これは単純化であり、実際にはスキューは満期によって変化し得ますが、SSVIはこの柔軟性と引き換えにカレンダー・アービトラージが生じない保証を得ています。

$\varphi(\theta_t)$ (スマイル急峻度関数): 各満期におけるスマイルの幅を制御します。 $\theta_t$ が大きくなる (満期が長くなる) につれ、スマイルは通常フラットになります。 $\varphi$ はこの減衰を表現します。

$\varphi$ の一般的な選択

標準的なのは「べき乗則」型です。

トレードオフ

SSVIはスライス単位のSVIよりも自由度が少なくなります。これは強みであると同時に限界でもあります。

	スライス単位のSVI	SSVI
パラメータ	満期ごとに5つ (5スライスで25)	グローバル3つ + ATM曲線
カレンダー・アービトラージ	フィット後に確認・修正が必要	構造上発生しない
スライスごとのフィット精度	非常に高い (スライスごとに5つの自由パラメータ)	良好だが制約あり
スキューの変化	満期ごとに異なり得る	全満期で単一の $\rho$
用途	個別スライスの分析、データが疎な場合	サーフェス全体、本番環境でのプライシング

最大の制約は、SSVIが全満期で単一の $\rho$ を使う点です。実際には、短期のスキューは長期のスキューより急峻であることが多くあります。SSVIは $\varphi$ (満期ごとのウィングの急峻さを制御) を通じてこれを部分的に扱えますが、スライス単位のSVIが捉えられる変化のすべてを捉えることはできません。

暗号資産や株式のほとんどの用途において、このトレードオフには十分な価値があります。カレンダー・アービトラージが生じない保証により、サーフェスのバグの一群をまるごと排除できるからです。

時間とともにスマイルがフラットになるとき

ターム・ストラクチャー

Backwardation: 近期IV > 遠期。イベントリスクが織り込まれた信号。

シェイプを切り替えてタームストラクチャーの変化を確認。バックワーデーションはしばしば今後のイベントを示唆。

SSVIは、長期のスマイルが短期のスマイルよりフラットであるという観察を自然に捉えます。 $\varphi(\theta_t)$ 関数は $\theta_t$ の増加とともに減衰するため、スマイルの幅は満期が長くなるほど小さくなります。これはマーケットの挙動と一致します。短期のバイナリー・イベントは急峻なスマイルを生みますが、長期のスマイルは多くのシナリオを平均化するためフラットになります。

SSVIのフィッティング

マーケットデータからATMバリアンス曲線 $\theta_t$ を抽出します。これは単に各満期のATM IVを2乗し、時間を掛けたものです。
全行使価格・全満期にわたって、SSVIと観測IVとの加重誤差を同時に最小化することで $\rho$ 、 $\eta$ 、 $\gamma$ をフィットします。
最適化の際に制約を課します: $\eta(1 + |\rho|) \le 2$ 、 $\gamma \in [0, \tfrac{1}{2}]$ 、 $\theta_t$ が増加していること。

最適化は高速 (パラメータ3つ) かつ頑健です。カレンダー・アービトラージの事後修正は不要です。

SSVI vs. スライス単位のSVI

スライス単位のSVIを使うべき場合:

一度に1つの満期だけを扱えばよい
スライスごとに最高のフィット精度が必要
データが疎 (満期が少ない) で、柔軟性が欲しい
カレンダー・アービトラージの確認を手動で行うことを許容できる

SSVIを使うべき場合:

本番環境のプライシングにサーフェス全体が必要
カレンダー・アービトラージがないことが絶対条件
コンパクトな表現 (パラメータ3つ + ATM曲線) が欲しい
複数の満期にわたって同時にプライシングを行う

オープンソース実装

リポジトリ	確認する理由
SVI-Vol-Surface	SSVIサーフェスのフィッティング
QuantLib	experimentalモジュール内のSSVI

関連項目:

SVIパラメータ化 - スライス単位のモデル
ORC Wing (Jump-Wing) - トレーダーに扱いやすいSVIの再パラメータ化
補間手法 - 全手法の比較
サーフェスの構築方法 - パイプライン全体

SSVIが解決する問題​

仕組み​

各要素の役割​

φ\varphiφ の一般的な選択​

トレードオフ​

時間とともにスマイルがフラットになるとき​