シンプルモデルと基礎モデル
基本の構成要素です。ブラック・ショールズ：一定のボラティリティ、スマイルなし。CEVはパラメータを1つ追加してスキューを表現します。ディスプレイスド・ディフュージョンは価格軸をシフトさせてマイナス金利に対応します。本番環境でのスマイルフィッティングには単純すぎますが、あらゆる複雑なモデルはこれらのいずれかを拡張したものです。
あらゆる複雑なモデルはシンプルなモデルの拡張である
SABRにはCEV（そのバックボーン）が必要です。ヘストンにはブラック・ショールズ（その特殊ケース）が必要です。まずはここから始めましょう。
概要
共通点
これら4つのモデルはいずれも、原資産価格に対する単一の拡散過程を記述するものです。どのモデルにも確率的ボラティリティ、ジャンプ、あるいは第2のランダム性の源泉は存在しません。違いは、価格に対してどのようなダイナミクスを仮定するかにあります。
相互の関係
ブラック・ショールズがベースラインです。一定のボラティリティ、対数正規の価格分布、スマイルなし。CEVは、ボラティリティが価格水準に応じてスケールする（sigma × S の beta−1 乗）ように一般化したもので、これによりスキューが生じます。これはSABRのバックボーンです -- SABRがローカルボラティリティ成分を設定する際にはCEVを使用します。ディスプレイスド・ディフュージョンは別のアプローチを取ります。価格軸をシフトさせる（S の代わりに S + d をモデル化する）ことで、同様にスキューを生成し、マイナス金利やマイナス価格に対応できます。小さなシフトの場合、CEVと類似した挙動を示します。バシュリエはブラック・ショールズの加法版です。価格は対数正規ではなく正規分布に従います。（ノーマル・ボラティリティで見ると）フラットなスマイルを生成し、価格が自然にマイナスになり得るため、金利がマイナスになった際に金利オプションの標準となりました。
このセクションのモデル：
- ブラック・ショールズ — 基礎となるモデル
- CEVモデル — ボラティリティが価格に応じてスケール
- ディスプレイスド・ディフュージョン — シフト対数正規
- バシュリエ — ノーマル・ダイナミクス、加法的ボラティリティ