シンプル＆基礎モデル
基本となる構成要素です。Black-Scholesはボラティリティが一定で、スマイルを生みません。CEVはパラメータを1つ追加してスキューを表現します。Displaced Diffusionは価格軸をシフトさせ、マイナス金利に対応します。実務でスマイルをフィッティングするには単純すぎますが、複雑なモデルはどれもこのいずれかを拡張したものです。
複雑なモデルはすべてシンプルなモデルの拡張です
SABRにはCEV（その骨格）が必要です。HestonにはBlack-Scholes（その特殊ケース）が必要です。まずはここから始めましょう。
概要
共通点
4つのモデルはいずれも、原資産価格について単一の拡散過程を記述します。確率的ボラティリティ、ジャンプ、その他2つ目のランダム性の源泉はどれも持ちません。違いは、価格に対してどのようなダイナミクスを仮定するかです。
モデル同士の関係
Black-Scholesはベースラインです。ボラティリティは一定、価格は対数正規分布に従い、スマイルはありません。CEVはこれを一般化し、ボラティリティを価格水準に応じてスケールさせます（sigmaにSのbeta-1乗を掛けたもの）。これによりスキューが生まれます。これはSABRの骨格であり、SABRがローカル・ボラティリティ成分を設定する際にはCEVを使います。Displaced Diffusionは別のアプローチを取ります。価格軸をシフトさせる（SではなくS + dをモデル化する）ことで、同じくスキューを生み、マイナスの金利や価格にも対応できます。シフトが小さい場合はCEVと似た振る舞いをします。BachelierはBlack-Scholesの加法版です。価格は対数正規分布ではなく正規分布に従います。（ノーマル・ボラティリティで見ると）フラットなスマイルとなり、マイナスの価格を自然に許容します。そのため、金利がマイナスになった際に金利オプションの標準モデルとなりました。
このセクションのモデル：
- Black-Scholes - 基礎となるモデル
- CEVモデル - ボラティリティが価格に応じてスケール
- Displaced Diffusion - シフト対数正規
- Bachelier - 正規分布のダイナミクス、加法的なボラティリティ