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SABRモデル

情報

このページではSABRモデルを詳しく解説します。ボラティリティ・サーフェスのパイプラインにおける位置付けについては、サーフェスの構築方法を参照してください。他の手法との比較については、補間手法を参照してください。

SABR(Stochastic Alpha Beta Rho) は、Hagan、Kumar、Lesniewski、Woodward(2002年)によって提唱された確率ボラティリティ・モデルです。スマイルの形状を記述するSVIとは異なり、SABRはスマイルを生み出すダイナミクスを記述します。スマイルは、ボラティリティが原資産とともにどのように変化するかの結果としてモデルから導かれます。

SABRは金利スワップションやキャップ/フロアにおける主流のモデルです。暗号資産ではあまり一般的ではなく、フィッティングが簡単でウィングの挙動が優れているSVIが好まれます。

パラメータを試す​

各パラメータを調整して、SABRスマイルがどのように変化するかを確認してください。「Show backbone」を切り替えると、CEVのみの曲線(ボラ・オブ・ボラがない場合のスマイルの形)が表示されます。

SABRスマイル・エクスプローラー

金利スワップションの典型的なスマイル。中程度のスキュー、緩やかな曲率。
4%9%13%758595ATM105115125行使価格インプライド・ボラティリティ (%)
α(ボラ水準)0.30
現在の瞬間ボラティリティ
β(バックボーン)0.50
0 = 正規、0.5 = 平方根、1 = 対数正規
ρ(スポット・ボラ相関)-0.30
負 = プット・スキュー(通常)
ν(ボル・オブ・ボル)0.40
スマイルの幅を制御します。0 = スマイルなし。

「バックボーンを表示」を切り替えると、CEVのみの曲線(ボル・オブ・ボルなし)が確認できます。バックボーンとフルスマイルの差がνの寄与です。

各パラメータの役割​

  • α\alpha(ボラティリティ水準):現在の瞬間的ボラティリティです。α\alpha が高いほど、IV全体が高くなります。最も頻繁に再キャリブレーションされるパラメータです。
  • β\beta(バックボーン):ボラティリティが原資産価格に応じてどのようにスケールするかを制御します。β=1\beta = 1 はパーセンテージ・ボラティリティが一定(対数正規)であることを意味します。β=0\beta = 0 はドル建てボラティリティが一定(正規)であることを意味します。β=0.5\beta = 0.5 はその中間(平方根)です。実務では、β\beta はフィッティングせず、市場慣行に合わせて固定するのが一般的です。
  • ρ\rho(スポットとボラティリティの相関):スキューを制御します。ρ\rho が負の場合、原資産が下落するとボラティリティが上昇します(株式や暗号資産で通常見られる挙動)。ρ\rho が正の場合はその逆です(まれ)。
  • ν\nu(ボラ・オブ・ボラ):スマイルの幅を制御します。ν=0\nu = 0 のときスマイルは存在せず、β\beta と ρ\rho が生むスキューだけが残ります(これが「バックボーン」です)。ν\nu が大きくなるにつれて、両方のウィングが持ち上がります。

バックボーン​

上のエクスプローラーで「Show backbone」をクリックしてください。破線は ν=0\nu = 0 のスマイルで、ボラティリティにランダム性がない決定論的なCEVモデルです。バックボーンとスマイル全体との差が、ν\nu(ボラ・オブ・ボラ)の寄与分です。この分解はSABR特有のもので、スマイルの曲率がどこから来るのかについてトレーダーに明確な直感を与えます。

キャリブレーション​

標準的なアプローチ​

  1. β\beta を市場慣行に合わせて固定します:

    • 金利:β=0.5\beta = 0.5(一般的)または β=0\beta = 0(正規SABR)
    • 株式:β=1\beta = 1(対数正規)
    • β\beta を固定すると、モデルの自由パラメータは3つになります。

  2. α\alpha をATMボラティリティに合わせます。 α\alpha とATMインプライド・ボラティリティの間には、ほぼ閉形式の関係があります。観測されたATM IVから α\alpha を求めます。これにより、フィッティングの自由パラメータは2つに減ります。

  3. ρ\rho と ν\nu をフィッティングします。 SABRスマイルと各行使価格で観測されたIVとの加重誤差を最小化します。パラメータが2つだけなので、高速かつ頑健です。

重み付け​

  • ATMに最も大きな重みを置きます(最も流動性が高く、最も信頼できるため)
  • ビッド/アスクのスプレッドが狭いオプションほど重みを大きくします
  • ディープOTMのオプションは重みを小さくします(Haganの近似の精度が下がるため)

長所​

ダイナミックな解釈。 SABRは、原資産が動いたときにスマイルがどう動くべきかを示します。デフォルトでは、SABRはスティッキー・デルタに近い挙動を示します。スポットが下落するとボラティリティが上昇し(ρ<0\rho < 0 の場合)、スマイルはスポットとともにシフトします。これは、ヘッジにおいてスマイルのダイナミクスが重要となる商品で有用です。

バックボーン分解。 バックボーン(β\beta によるスキュー)とスマイル(ν\nu による曲率)を分離することで、トレーダーは明確なメンタルモデルを持てます。

簡潔さ。 β\beta を固定し、α\alpha をATMに合わせると、フィッティングするパラメータは2つだけです。高速で、過剰適合の余地もほとんどありません。

限界​

ウィングの問題。 Haganの近似は、遠いウィングで負のインプライド・ボラティリティや負の確率密度を生むことがあります。これは既知の問題です。本番システムでは、修正版の定式化(裁定フリーSABR、または極端な行使価格に対するPDEソルバー)を使用します。

長期満期。 漸近展開は、満期が10〜15年を超えると精度が低下します。その場合は数値計算手法を使用してください。

静的なフィットであり、動的なキャリブレーションではない。 SABRにはダイナミックな解釈があるものの、実務では各満期を独立にフィッティングします(SVIと同様)。ダイナミクスの話は理想であって、運用上強制されるものではありません。

SABRとSVIの比較​

SABRSVI
モデル化の対象スマイルを生むダイナミクススマイルの形状
パラメータ数3(β\beta を固定した場合)5
裁定Hagan式はウィングで裁定条件に違反しうる明確な制約条件を利用可能
ウィングの挙動極端な行使価格で破綻しうる有界で、線形の漸近線
速度数式の評価最適化
適した用途金利、FX株式、暗号資産

重要な違いは、SABRが「スマイルはどう動くのか」に答えるのに対し、SVIは「スマイルはどんな形なのか」に答える点です。シンプルなヨーロピアン・オプションの価格付けとリスク管理では、フィッティングが簡単でウィングの挙動が優れたSVIが通常は有利です。スマイルのダイナミクスが重要な商品(バミューダン・スワップション、スティッキー・デルタ下のバリア・オプション)では、SABRのダイナミックな解釈が価値を持ちます。

SVIとの関係​

SABRはSVIフィッティングの初期値として使えます。まずSABRをフィッティングし(高速な2パラメータ最適化)、多数の行使価格でSABRスマイルを評価してから、それらの点にSVIをフィッティングします。これにより、市場データが少ない場合でもSVIに良い初期値を与えられます。

数学的直感を養う​

SABRをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 4つのパラメータ、5つのセクション

上のインタラクティブ・レッスンでは、SABRの4つのパラメータを1つずつ解説します。alphaがボラティリティ水準をどう決めるか、rhoがスキューをどう傾けるか、nuがウィングをどう持ち上げるか、betaがバックボーンのダイナミクスをどう制御するかを学べます。各セクションに専用のスライダーがあるため、1つのパラメータの効果だけを切り出して確認できます。

オープンソース実装​

リポジトリ確認する理由
QuantLibSABRのHagan近似とキャリブレーション
pysabr純粋なPythonによるSABR実装で、読みやすい
OpenGamma Strata本番のリスク管理で使われる、スマイル補間付きSABR

関連項目:

最終更新: