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五次多項式モデル

SVIは、ボラティリティ・スマイルをフィットするための業界標準で、5つのパラメータを使い、1スライスずつフィットします。しかしSVIには特定の形状仮定が組み込まれています。スマイルは常に、平行移動・拡大縮小された双曲線になるという仮定です。SVIが表現できない形状を市場が示すと、フィットの精度は落ちます。五次多項式モデル（Gauthier & Possamai, 2023）は、この形状仮定を完全に取り除きます。トータルのインプライド分散を対数マネーネスの多項式としてフィットします。係数が5個または6個の、4次または5次の多項式です。市場が生み出すあらゆるスマイル形状にフィットでき、SVIが構造的に捉えられない形状にも対応します。

💡
形状の制約を外したSVI

パラメータ数はSVIと同じです。1スライスずつフィットする点も同じです。ただし、SVIが双曲線の形状を強制するのに対し、多項式はデータに形状を決めさせます。トレードオフとして、SVIに組み込まれたウィングの振る舞いが失われ、裁定フリーを保つには明示的な制約が必要になります。スキューと曲率はそれぞれ独立したつまみになります。

実際に動かしてみる​

スライダーをドラッグして、各係数がスマイルの形状をどう変えるかを確認してください。SVIでは表現できない形状として、「Double bump」プリセットを試してみてください。

5次多項式スマイル・エクスプローラー

SVIに典型的な放物線形状。対称なウィングと中程度のスキュー。
44%51%58%-40%-20%ATM+20%+40%対数マネーネスインプライド・ボラティリティ (%)
ATM水準0.045
全体のボラティリティ水準を設定します
スキュー-0.015
スマイルを左（プット・スキュー）または右に傾けます
曲率0.080
スマイルの開き具合を決めます
非対称性-0.010
片方のウィングをもう一方より急にします
ウィングの傾き0.020
ウィングの上昇速度を制御します。値が大きいほどテールが急になります。

「ダブルバンプ」を選び、「SVI参照を表示」を切り替えると、多項式では生成できてもSVIでは構造的に生成できない形状を確認できます。

仕組み​

1. 多項式としてのトータル分散​

ある満期 TT について、トータルのインプライド分散 w(k)=σ2(k)⋅Tw(k) = \sigma^2(k) \cdot T を、対数マネーネス k=log⁡(K/F)k = \log(K/F) の多項式としてモデル化します。

w(k)=c0+c1k+c2k2+c3k3+c4k4w(k) = c_0 + c_1 k + c_2 k^2 + c_3 k^3 + c_4 k^4

各係数には、トレーダーにとって直接的な解釈があります。

係数
トレーダーの呼び方
制御する内容
c0
ATM水準
全体のボラティリティ水準です。c0が高いほどATMのインプライド・ボラティリティが高くなります。
c1
スキュー
スマイルを傾けます。負の値はプットスキュー（左ウィングが高い）を意味します。
c2
曲率
スマイルの開き具合です。バタフライの割高さを制御します。
c3
非対称性
片方のウィングをもう一方より急にします。奇数次の効果です。
c4
ウィングの急峻さ
極端な行使価格でウィングがどれだけ速く上昇するかを制御します。

2. 裁定制約はシンプルな境界条件​

多項式が裁定フリー（分散が正、コール価格が凸）であるための制約は、係数に関する不等式に帰着します。複雑な数値チェックは不要で、フィット時に係数に境界を設けるだけです。

3. フィットが高速​

多項式を市場データにフィットするのは最小二乗問題であり、マイクロ秒単位で解けます。フィットは、流動性が最も高いATM付近の行使価格に重みを置きます。係数の境界を線形制約として加えれば小規模なQP（二次計画問題）となり、SVIの非線形最適化より高速かつ頑健です。

ℹ️
高次の多項式はウィングで振動する

6次や7次の多項式はウィングで振動します（ルンゲ現象）。4〜5次であれば、最後の流動性のある行使価格より外側にアーティファクトを生まずに、実際のスマイル形状を捉えるのに十分な柔軟性があります。ディープなOTMのウィングの振る舞いについては、明示的な外挿ルールが必要です。

五次多項式 vs. SVI​

特徴
SVI
五次多項式
スライスあたりのパラメータ数
5
5（4次）または6（5次）
形状仮定
双曲線（組み込み）
なし
フィットの質
典型的なスマイルには良好
あらゆる形状にフィット可能
ウィングの外挿
線形（有界）
多項式（発散）
裁定制約
複雑な非線形
シンプルな係数の境界
フィット手法
非線形最適化
最小二乗 / QP
業界での採用
数十年の実績
新しい（2023年）
SSVI型のサーフェス版
あり（SSVI）
研究段階

暗号資産との関連性​

暗号資産のスマイルは、SVIが苦手とする形で非対称になることがよくあります。清算の連鎖による急なプットスキュー、エアドロップのオプショナリティによるコール側の珍しい膨らみ、建玉が集中する人気の行使価格付近での「折れ曲がった」スマイルなどです。多項式モデルは、双曲線構造を強制することなくこれらの形状にフィットします。多項式スマイルから計算されるデルタとベガは、構造上なめらかになります。主な制約は、暗号資産オプションの行使価格がまばらであることで、慎重に制約をかけないと、多項式はデータ点の間で不安定な振る舞いをすることがあります。

💡
SVIのシンプルさを保ち、形状バイアスを取り除く

SVIが構造的に表現できないスマイルにフィットします。その代償として、SVIの行儀の良いウィング外挿が失われ、裁定制約を明示的に扱う必要があります。複数満期のサーフェスには、別途期間構造の制約が必要です。スマイルが特殊な市場や、SVIのフィット残差が大きすぎる市場に最適です。

方程式エクスプローラー​

インプライド・ボラティリティ、トータル分散、対数マネーネス、オプション価格を相互に変換します。

数式エクスプローラー

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
インプライド・ボラティリティ
日
満期までの暦日数
総分散 (w)
0.022225
年率換算分散 (σ²)
0.2704
逆算IV
52.00%
総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: なぜ五次多項式は、SVIでは表現できないスマイル形状にフィットできるのですか？
Q: ウィングの外挿に多項式を使う主な欠点は何ですか？
Q: 流動性のある行使価格が6つしかない暗号資産の3日満期をフィットするとします。SVIと多項式のどちらを選びますか？

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的な直感を養う​

五次多項式をゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、多項式フィットによってスマイルの柔軟性がなぜ高まるのか、トータル分散の多項式がどのように機能するのか、そして形状をより自由に動かせるようになると、なぜより強力な裁定チェックが重要になるのかを説明します。

関連項目:

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