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経路依存ボラティリティ (PDV)

このサイトで紹介している各モデルは、ボラティリティが現在の価格の位置、つまり現在の価格水準や、場合によっては現在のボラティリティ状態に依存すると仮定しています。経路依存ボラティリティ (Guyon & Lekeufack, 2023) は、それだけでは不十分だと主張します。ボラティリティは価格がこれまでどこにあったかにも依存します。10%暴落してから 100まで回復したコインは、ずっと100 まで回復したコインは、ずっと 100 にとどまっていたコインと同じようには取引されません。暴落と回復を経たコインは、インプライド・ボラティリティが高く、スキューが急で、ウィングも広くなります。市場が暴落を記憶しているからです。

💡
市場には記憶がある

BTCが15%のドローダウンを経験した直後は、価格が回復した後もボラティリティは高止まりします。PDVはボラティリティを2つの要素の関数として扱います。直近の実現ボラティリティと直近の価格トレンドです。モデルはこれだけです。ボラティリティ・サーフェスは現在の価格だけでなく、価格の経路に応じて変化します。

実際に試してみる​

暴落後に回復した経路と横ばいの経路を切り替えてみてください。どちらも同じ価格で終わりますが、生成されるボラティリティ・スマイルは異なります。メモリのスライダーを動かすと、ルックバック期間によって効果がどう変わるかを確認できます。

経路依存ボラティリティ

価格が10%下落した後、反発しました。経路メモリーにより、価格が回復した後もボラティリティは高止まりします。
直近の価格経路
メモリーウィンドウ10091時間
結果のボラティリティ・スマイル
34%45%56%OTM プットATMOTM コール暴落と回復横ばい相場
経路メモリー（ルックバック期間）30 日
1日（短いメモリー）90日（長いメモリー）

シナリオを切り替えると、同じ現在価格でも直近の経路によって異なるスマイルが生じることが分かります。メモリーのスライダーをドラッグして、ルックバック期間が効果をどう変えるかご確認ください。

仕組み​

1. 価格経路から得る2つの入力​

PDVは直近の価格履歴を2つの数値に集約します。

入力
捉えている内容
トレーダーの直感
直近の実現ボラティリティ
ルックバック期間中に価格がどれだけ動いてきたか。
どのボラティリティ・ダッシュボードでもすでに確認している指標です。直近のRVが高い = IVも高い。
直近のトレンド
ルックバック期間中の価格の純変化 (上昇または下落)。
大きな下落はスキューを急にし、上昇はスキューをフラットにします。毎日目にしている現象です。

2. ボラティリティはこの2つの入力の関数​

このモデルでは、任意の行使価格におけるインプライド・ボラティリティは、現在のスポット価格に加えて、この2つの経路サマリーの関数になります。確率的ボラティリティの状態変数も、分数階微積分も、隠れマルコフ連鎖も不要です。問うのは「価格は今どこにあるか、どれだけ動いてきたか、どちらの方向か」だけです。

3. ラフモデルを使わずにラフ・ボラティリティの挙動を再現​

この設定により、いくつかの「難しい」現象を再現できます。

  • ボラティリティ・クラスタリング: 高いボラティリティがさらに高いボラティリティを呼びます。直近の実現ボラティリティが高止まりするためです。
  • レバレッジ効果: 下落は上昇よりもボラティリティを大きく押し上げます。トレンド入力が関数を非対称にするためです。直近のリターンに応じて変化するスキューが生まれます。
  • ラフ・ボラティリティ的なスケーリング: ボラティリティ経路の見かけ上の粗さが、非整数ブラウン運動を使わずに経路依存性から自然に現れます。
  • SPX/VIXの同時キャリブレーション: 指数オプションとVIXオプションの両方に同時にキャリブレーションできます。これはほとんどのモデルにはできないことです。
ℹ️
暗号資産にとって重要な理由

暗号資産市場は極めて強い経路依存性を持っています。清算の連鎖が起きた後は、価格が回復してもボラティリティが数日間高止まりします。じりじりとした上昇が長く続いた後は、ボラティリティが縮小します。PDVはこれを直接捉えます。従来のモデルはどの60kのBTCも同じものとして扱いますが、PDVは「70kから暴落した後の60k」と「50kから上昇した後の60k」を区別します。この違いはプライシングとデルタヘッジにとって重要です。

PDVと他のモデルの比較​

特徴
Heston / SABR
Rough Bergomi
PDV
ボラティリティが依存するもの
現在の状態のみ
ボラティリティの全履歴 (非整数)
直近のRV + トレンド
経路の記憶
なし (マルコフ)
無限 (べき乗則)
有限 (ルックバック期間)
複雑さ
低い
高い (非マルコフ)
低い
SPX/VIXの同時フィット
不十分
中程度
良好
ボラティリティ・クラスタリング
部分的
あり
あり
シミュレーション速度
高速
低速
高速 (マルコフ)
成熟度
数十年
約10年
新しい (2023)

長所と限界​

長所
トレーダーにとっての意味
直感的な入力
直近の実現ボラティリティとトレンドは、どのトレーダーも見ている指標です。抽象的な状態変数はありません。
マルコフ (シミュレーションが高速)
経路効果を捉えつつ、モデルは (S, 実現ボラティリティ, トレンド) についてマルコフです。モンテカルロも標準的な速度で実行できます。
ラフな数学なしのラフ・ボラティリティ
分数階微積分や非マルコフ・シミュレーションを使わずに、ラフ・ボラティリティ・モデルのスケーリング特性を再現します。
同時キャリブレーション
バニラオプションとボラティリティ・オブ・ボラティリティ商品 (VIXオプション、ボラティリティ・スワップ) の両方に同時にキャリブレーションできます。
限界
トレーダーにとっての意味
ルックバック期間の選択
メモリのパラメータは重要で、選択するかフィットさせる必要があります。期間が異なれば得られるサーフェスも異なります。
解析解による価格付けがない
オプション価格の算出にはモンテカルロ・シミュレーションが必要です。HestonやSABRの解析的近似より低速です。
新しい (2023)
本番環境での実績は限られています。エッジケースや失敗パターンは十分に文書化されていません。
価格履歴が必要
取引履歴のない新規トークンのオプションは価格付けできません。実現ボラティリティとトレンドを算出するのに十分なデータが必要です。
💡
最もシンプルな経路依存ボラティリティ・モデル

PDVは直近の実現ボラティリティと直近のトレンドを使い、確率的ボラティリティ・モデルが捉えきれないスマイルの動きを説明します。特殊な数学を使わずに、ラフ・ボラティリティ、ボラティリティ・クラスタリング、レバレッジ効果を再現します。PDVにおけるベガは、経路の状態がスマイルの形状を変えるため、ブラック・ショールズのベガとは異なります。トレードオフは、モデルが新しいこと、モンテカルロが必要なこと、ルックバック期間の選択に依存することです。

数式エクスプローラー​

インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格を相互に変換します。

数式エクスプローラー

w = σ2 × Ttotal variance = IV2 × time
%
インプライド・ボラティリティ
日
満期までの暦日数
総分散 (w)
0.022225
年率換算分散 (σ²)
0.2704
逆算IV
52.00%
総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: BTCは$65kです。$72kから暴落して回復した結果この水準にあります。PDVの下では、BTCが$60kからゆっくり上昇してきたシナリオと比べて、ボラティリティ・サーフェスはどう異なりますか?
Q: PDVが非整数ブラウン運動を使わずにラフ・ボラティリティ的な挙動を再現できるのはなぜですか?
Q: ETHオプションに対してPDVのルックバック期間を選ぶとします。7日間と60日間のトレードオフは何ですか?

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

関連項目:

最終更新: