マートン・ジャンプ拡散モデル
Black-Scholes は、価格が滑らかに動くと仮定しています。ギャップも突然の暴落もありません。マートン (1976) はこれに ジャンプ を加えます。価格は拡散するだけでなく、上下に瞬間移動することがあります。市場は一晩でギャップを開けます。ステーブルコインは1ブロックでペッグを失います。
ファットテールと短期の急なスマイルは、ここから直接導かれます。ジャンプリスクが大きいほど、ボラティリティ・サーフェス のウィングは急になります。
オプションにとってジャンプが重要な理由
満期まで2日の OTM プットは、Black-Scholes の下ではほぼ無価値です。拡散だけで行使価格に届くには時間が足りないからです。しかし市場が一晩で15%ジャンプし得るなら、そのプットには実質的な価値があります。ジャンプモデルはこれを捉えます。短期のスマイルがこれほど急なのはこのためです。
パラメータを試す
まず「ジャンプなし」でフラットな Black-Scholes を確認してください。次に「クラッシュリスク」に切り替えて、プット側のウィングが急になる様子を見てください。
Merton ジャンプ拡散スマイル・エクスプローラー
まず「ジャンプなし」でフラットな Black-Scholes を確認し、次に「暴落リスク」に切り替えて、ジャンプがスキューを生む仕組みをご覧ください。
各パラメータの役割
- ラムダ (ジャンプ強度): 1年あたりに予想されるジャンプの回数です。ゼロなら Black-Scholes と同じです。1なら、暴落規模のイベントが年に1回程度です。暗号資産では2〜3になることもあります。
- 平均ジャンプサイズ: ジャンプの平均的な方向です。マイナスなら、急騰より暴落のほうが起こりやすいことを意味します。これがプットの スキュー を生みます。
- ジャンプ・ボラティリティ: 各ジャンプのばらつきの大きさです。平均ジャンプがゼロでも、ジャンプ・ボラティリティが高ければファットテールが生じます (両側のウィングが持ち上がります)。
- ベース・ボラティリティ (シグマ): ジャンプとジャンプの間の通常の拡散 ボラティリティ です。全体の水準を決めます。
ジャンプがスマイルをどう形作るか
ジャンプによるスマイルと確率ボラティリティによるスマイル
マートンと Heston (確率ボラティリティ) はどちらもスマイルを生みますが、その仕組みは異なります。この違いはトレードにおいて重要です。
短期と長期
マートンモデルが最も役立つのは、ジャンプリスクが支配的な短期オプションです。満期が長くなると中心極限定理が効いてきます。多数の小さなジャンプは拡散と見分けがつかなくなり、ジャンプだけによるスマイルは薄れていきます。期間構造 の長期側では、確率ボラティリティが主役になります。
暗号資産におけるマートンモデル
マートンモデルが最も効くのは、おそらく暗号資産です。市場は24時間365日動いていますが、流動性のギャップは頻繁に発生します。取引所の障害、オラクルの不具合、突然の清算カスケードなどです。これらはジャンプです。ATM の水準はあまり変わらなくても、ウィングは劇的に急になります。
数式エクスプローラー
インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格を相互に変換できます。
数式エクスプローラー
💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。
数学的な直感を身につける
マートン・ジャンプをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要ですこのレッスンは「価格が瞬間移動できたらどうなるか?」というシンプルな問いから始まり、 ジャンプ強度、ジャンプサイズ、そして短期のウィングが割高になる理由について、 直感を一から組み立てていきます。
関連項目:
- Black-Scholes:ジャンプのないベースラインモデル
- Heston モデル:確率ボラティリティ (スマイルを生むもう一つの方法)
- Variance Gamma:拡散成分をまったく持たない純粋ジャンプモデル
- スキュー:スマイルが傾く理由