ボラティリティ・サーフェスの構築方法
市場で連続したサーフェスが見えるわけではありません。見えるのは、いくつかの行使価格と満期に散らばった気配値だけです。「サーフェス」は、それらの気配値をインプライド・ボラティリティに変換し、空白を埋め、誰もタダで利益を抜けないように整合性ルールを課すことで構築されます。
このページでは、生の気配値を入力し、滑らかなサーフェスを出力するまでのパイプラインを順に説明します。
ステップ1: まばらな気配値から始める
オプション市場では、考えられるすべての行使価格と満期に気配値が出ているわけではありません。ある銘柄で、数百あるグリッド点のうち気配値が付いているのは15〜20の組み合わせ程度ということもあります。サーフェスの大部分は空白です。
クオートからサーフェスへ
| 行使価格 | 7d | 14d | 30d | 60d |
|---|---|---|---|---|
| $85k | $120 | $340 | -- | -- |
| $90k | $450 | $820 | $1,400 | -- |
| $95k | $1,200 | -- | $2,800 | $4,200 |
| $100kATM | $3,500 | $4,800 | $6,200 | -- |
| $105k | $1,800 | $3,100 | -- | $5,800 |
| $110k | $650 | -- | $2,100 | -- |
上の3つのステップをクリックして確認してください。Raw Quotes では、ほとんどのセルが空白です。Extract IV では、各価格をブラック・ショールズで逆算してインプライド・ボラティリティを求めますが、同じ空白は残ったままです。Interpolate を実行して初めてすべてのセルが埋まり、「SVI」と表示されたセルは市場で観測されたものではありません。
これが中心的な課題です。まばらでノイズの多い観測値を、滑らかで内部的に整合したものに変える必要があります。各ステップの仕組みを見ていきましょう。
ステップ2: 価格をIVに変換する
気配値として付いている各オプション価格を、インプライド・ボラティリティに変換する必要があります。つまり、ブラック・ショールズの価格を市場価格に一致させる です。
閉じた形の解はありません。数値的に解きます。あるボラティリティを試し、BS価格を計算し、一致するか確認して、範囲を狭めていきます。ソルバーが段階的に収束する様子を見てみましょう。
IV求根：ソルバーの収束を観察
ソルバーは、BS価格が市場価格と一致するまで、取り得るボラティリティの範囲を絞り込みます。
| ステップ | 試行 σ | BS価格 | 目標との比較 | 範囲 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 150.50% | $11278 | > 高すぎる | [1.0%, 300.0%] |
| 2 | 75.75% | $5825 | > 高すぎる | [1.0%, 150.5%] |
| 3 | 38.38% | $2995 | < 低すぎる | [1.0%, 75.8%] |
| 4 | 57.06% | $4421 | > 高すぎる | [38.4%, 75.8%] |
| 5 | 47.72% | $3711 | > 高すぎる | [38.4%, 57.1%] |
| 6 | 43.05% | $3354 | < 低すぎる | [38.4%, 47.7%] |
| 7 | 45.38% | $3533 | > 高すぎる | [43.0%, 47.7%] |
| 8 | 44.21% | $3444 | < 低すぎる | [43.0%, 45.4%] |
| 9 | 44.80% | $3488 | < 低すぎる | [44.2%, 45.4%] |
| 10 | 45.09% | $3511 | > 高すぎる | [44.8%, 45.4%] |
| 11 | 44.94% | $3499 | = 一致 | [44.8%, 45.1%] |
黄色い線は市場価格です。各推測（ドット）は、そのボラティリティでBSを評価します。網掛け領域は、各ステップで狭まっていく残りの探索範囲を示します。
入力値を変えて、行使価格（OTMとATM）、満期、価格の違いによってソルバーの挙動がどう変わるかを確認してください。探索範囲（網掛け部分）がステップごとに半分になっていることに注目してください。多くの本番システムでは、Brent法（収束が保証される）や Jäckel の有理近似（1ステップでマシン精度に到達）が使われています。
気配値が付いた価格をすべて逆算すると、IV値のまばらなグリッドが得られます。ただし、これらの値は行使価格間で一定ではありません。空白を埋める前に、IVカーブが自然に形成する形状を理解する必要があります。
ステップ3: 形状を理解する
世界がブラック・ショールズに完全に一致していれば（対数正規リターン、一定のボラティリティ）、インプライド・ボラティリティはどの行使価格でも同じになるはずです。実際はそうではありません。この乖離は市場について実際の情報を伝えており、これらの形状を理解することが適切な補間方法を選ぶうえで不可欠です。
IVが行使価格によって異なる理由
ボラティリティはランダムです。 ブラック・ショールズはボラティリティを一定と仮定しています。ボラティリティ自体が変動すると、OTMオプションはブラック・ショールズの予測よりも価値が高くなります。OTMオプションはボラティリティの変化から非対称に恩恵を受けます。ボラティリティが上昇すればオプションはマネーに近づいて急速に価値を増し、ボラティリティが低下しても、オプションはすでにほぼ無価値なので失うものはわずかです。この凸性により、ボラティリティが不確実なときOTMオプションの価値は高まり、それがウィングIVの上昇として現れます。ボラティリティの変動が大きいほど（「ボラティリティのボラティリティ」が高いほど）、スマイルは広がります。
スポットとボラティリティは連動します。 スマイルだけなら左右対称になるはずです。スキュー は、多くの市場で価格が下落するとボラティリティが上昇するという事実から生じます。トレーダーはこれを「上りはエスカレーター、下りは滑り台」と呼びます。OTMプット（暴落時にペイオフが発生する）は、ブラック・ショールズの想定以上の価値を持ちます。暴落にはボラティリティの急上昇が伴い、プットの価値がさらに高まるからです。OTMコールは価値が低くなります。上昇相場ではボラティリティが縮小しやすいためです。その結果がプット・スマークで、左のウィングが右のウィングよりも高いIVで取引されます。スマイルの形状の詳細は、ボラティリティコースのスマイルとスマークのレッスンをご覧ください。
目にする4つの形状
スマイルとスキューの形状
各形状をクリックしてみてください。25デルタのリスクリバーサル（左下）は傾きを測定します。プラスはプットが割高、マイナスはコールが割高であることを意味します。バタフライ（右下）は方向とは無関係に曲率を測定します。
Skew Visualization
スライダーをドラッグしてスキューがストライク全体のIVカーブをどう変えるかを確認。プット・スキュー（正のRR）は通常、コール・スキューは稀。
スライダーをドラッグして、スキューの強さによってカーブがどう変わるかを確認してください。リスクリバーサルがゼロ付近（フラット）であれば、市場に強い方向性のバイアスがないことを意味します。
IVが時間によってどう変わるか
サーフェスには2つ目の次元があります。ボラティリティの**期間構造**です。
ターム・ストラクチャー
Backwardation: 近期IV > 遠期。イベントリスクが織り込まれた信号。
シェイプを切り替えてタームストラクチャーの変化を確認。バックワーデーションはしばしば今後のイベントを示唆。
| 形状 | 意味 | 見られる場面 |
|---|---|---|
| コンタンゴ | 長期IV > 短期IV | 落ち着いた市場。ボラティリティが上方に平均回帰すると予想されている。 |
| フラット | 満期間でIVがほぼ同じ | 期間について強い見方がない。 |
| バックワーデーション | 短期IV > 長期IV | 近い将来のイベントリスク。特定の要因が期近のボラティリティを押し上げている。 |
バックワーデーションは重要なシグナルです。短期ボラティリティが長期ボラティリティを上回って急上昇しているとき、市場は特定の近い将来のカタリストを織り込んでいます。イベントが過ぎると、期間構造は通常コンタンゴに戻ります。市場環境によってサーフェス全体がどう変化するかは、ボラティリティ・レジームをご覧ください。
期間構造にはフォワード・ボラティリティ、つまり将来の2時点間のボラティリティに対する市場の予想も含まれています。30日IVが52%、90日IVが48%の場合、30日目から90日目までのインプライド・フォワード・ボラティリティは次のとおりです。
どちらのスポット・ボラティリティよりもずっと低い値です。市場は「今後30日は荒れるが、その後は落ち着く」と言っているのです。Equation Explorer（「Forward Vol」タブを選択）で、さまざまな入力値でフォワード・ボラティリティを計算してみてください。フォワード分散がマイナスになる場合、それはカレンダー裁定のシグナルです。
サーフェスがどのような形状になるべきかを理解したので、空白を賢く埋めることができます。
ステップ4: 空白を埋める
散らばったIVの観測値があり、それらがどのような形状になるべきかもわかっています。課題は、サーフェスを滑らかで安定した、裁定のない状態に保ちながら、すべての空セルを埋めることです。
補間手法の比較
白い点だけが実際の市場観測値です。その間はすべて推定値です。各手法をクリックして、長所と短所を確認してください。
補間の2つのルール
Nassim Taleb は2つの原則で整理しています。
1. ギザギザをなくす。 線形補間では鋭い角ができます。隣接する行使価格の間でインプライド・ボラティリティが不連続にジャンプすることは、市場では想定できません。角を滑らかにしてください。
2. 市場に合わせる。 市場が特定の補間の慣行を使っているなら、価格エンジンもそれに合わせるべきです。リスク管理には最も正確だと考える手法を使って構いませんが、気配値は市場の慣行と一致している必要があります。そうしないと逆選択を受けます。
起こりうる問題
裁定。 $97k のコールが $95k と $100k に比べて安すぎる価格になっていると、トレーダーは $97k を買い、他の2つを組み合わせて売ることで無リスクの利益を得られます（バタフライ裁定）。サーフェスが満期とともに総分散が減少することを示している場合、カレンダー裁定が存在します。
意味をなさないグリークス。 スマイルの凹んだ窪みは、ロングオプションのマイナスのガンマ（ありえない）や、マイナスのローカル分散（エキゾチック・オプションの価格付けが破綻する）を生みます。
不安定な価格付け。 市場の気配値を1つ動かしただけで、離れた位置の補間値が大きく変わる場合、そのサーフェスはノイズが多い状態です。ヘッジが市場の動きではなく、モデルの人工的な挙動に左右されるようになります。
手法の概要
| 手法 | 一言で | 適した用途 |
|---|---|---|
| 線形 | 点の間を直線で結ぶ | 簡易的な推定のみ |
| 3次スプライン | 滑らかな多項式曲線 | 可視化（本番向きではない） |
| SVI | 満期ごとの5パラメータモデル | 暗号資産および株式オプション |
| ORC Wing | トレーダーが扱いやすいSVIの再パラメータ化 | スマイルの手動編集 |
| SABR | 4パラメータの確率ボラティリティ・モデル | 金利スワップション |
| ローカル・ボラティリティ | Dupire により瞬間ボラティリティを導出 | エキゾチック・オプションの価格付け |
多くのボラティリティ・デスクは SVI を使っています。シンプル（5パラメータ）で、高速（ミリ秒単位でフィット）で、裁定を防ぐよう制約をかけられるからです。Hypercallは、各原資産のサーフェスを、その原資産に設定されたボラティリティ・ソースから取得しています。すべての手法の詳細な比較は、補間手法をご覧ください。
ステップ5: 整合性をチェックする
各満期を個別にフィットすると、内部的に整合しないサーフェスができることがあります。サーフェスを公開する前に、3つの制約が満たされている必要があります。
カレンダー裁定
すべての行使価格で、総分散は満期とともに増加しなければなりません。 そうでない場合、同じ行使価格で短期のストラドルを売り、長期のストラドルを買うことで、支払う以上のプレミアムを受け取れます。タダで利益が得られてしまいます。
カレンダーアービトラージ・チェック
トータルバリアンス (σ² × T) はすべての行使価格で満期とともに増加する必要があります。
状態を切り替えてみてください。30日のトータルバリアンスが7日を下回ると、7日ストラドルを売り30日ストラドルを買うことで無リスクの利益が得られます。
状態を切り替えてみてください。Consistent（各カーブが前のカーブの上にある）、Violation（ATM付近で30日カーブが7日カーブを下回る）、After Fix（制約が満たされるようパラメータを調整）です。
バタフライ裁定
コール価格は行使価格に対して凸でなければなりません。スマイルに凹んだ窪み（局所的な谷）があると、その窪みを中心としたバタフライ・スプレッドで無リスクの利益が得られます。
コール・スプレッドの単調性
コール価格は行使価格に対して減少しなければならず、その減少率は0から1の間に収まる必要があります。行使価格が高いほどハードルが高くなるため、コールの価値は常に低くなければなりません。
結果: 完成したサーフェス
5つのステップ（価格の逆算、形状の理解、空白の補完、整合性の確保）をすべて経ると、滑らかで連続したボラティリティ・サーフェスが得られます。こちらです。
ボラティリティ・サーフェス
静かな市場。軽いプットスキュー、軽いコンタンゴ。
| ストライク | 7d | 14d | 30d | 60d | 90d |
|---|---|---|---|---|---|
| $80k | 51% | 52% | 53% | 55% | 57% |
| $85k | 50% | 51% | 52% | 54% | 56% |
| $90k | 50% | 50% | 51% | 54% | 56% |
| $95k | 49% | 49% | 51% | 53% | 55% |
| $100k(ATM) | 48% | 49% | 50% | 52% | 55% |
| $105k | 48% | 49% | 50% | 53% | 55% |
| $110k | 49% | 49% | 50% | 53% | 55% |
| $115k | 49% | 49% | 51% | 53% | 55% |
| $120k | 49% | 50% | 51% | 53% | 55% |
満期ヘッダーをクリックしてスキュー・スライスを分離。ストライクをクリックしてターム・ストラクチャーを確認。
3Dビューでは、ドラッグで回転、スクロールでズームできます。シナリオを切り替えて、市場環境の違いによってサーフェスがどう変形するかを確認してください。2Dビューでは、満期のヘッダーをクリックするとスキューのスライスを単独で表示でき、行使価格をクリックするとその期間構造を表示できます。
4つのシナリオは、サーフェスがいかに大きく変化するかを示しています。
- Normal: 緩やかなプット・スキュー、わずかなコンタンゴ。デフォルトの状態です。
- Pre-Event: 短期ボラティリティが急上昇します。方向性が不確実なため、両方のウィングが上昇します。
- Crisis: すべてが上昇します。極端なプット・スキュー。急なバックワーデーション。
- Euphoria: コール・スキューが現れます。OTMコールが買われます。まれです。
サーフェスの動き方
サーフェスは静的なものではありません。絶えず形を変えており、どのように動くかを理解することがヘッジにとって重要です。
パラレルシフト: サーフェス全体が上昇または下落します。ATMボラティリティが3ポイント上昇すると、ほぼすべてのセルが同程度動きます。ベガのエクスポージャーを持つポジションにとって、これが最大の損益要因です。
ローテーション: 期近が一方向に動き、期先が逆方向に動きます。1か月オプションと1年オプションのベガを単純に足し合わせられないのはこのためです。7日オプションでの $100k のベガ・ポジションは、6か月オプションでの $100k のベガよりもはるかに大きなエクスポージャーを持ちます。短期のボラティリティのほうが反応が大きいからです。
形状変化: スマイルが急になる、ウィングが広がる、スキューがさらに傾くといった変化です。水準と傾きに対してフラットなポジションでも、形状変化で損失を出すことがあります。
局所的な変形: 単一の行使価格や狭い領域が独立して動きます。建玉の大きい行使価格（ピンリスク）、バリア水準、特定の満期での異例のフローの周辺で発生します。
市場レジームごとのサーフェス
静穏条件、大イベントなし。中程度プットスキュー、軽いコンタンゴ。
| ストライク | 7 DTE | 30 DTE | 90 DTE |
|---|---|---|---|
| 85k (OTM Put) | 58% | 55% | 52% |
| 90k | 54% | 52% | 50% |
| 95k | 51% | 50% | 48% |
| 100k (ATM) | 48% | 48% | 47% |
| 105k | 46% | 47% | 46% |
| 110k | 45% | 46% | 46% |
| 115k (OTM Call) | 44% | 45% | 45% |
注意すべきこと:
- 中程度プットスキュー（プットからコールへ約14 volポイント）
- 軽いコンタンゴ（遠期がわずかに低い）
- ATM vol約48% - 静穏BTC の典型
パターンに注目してください。危機時のサーフェスは、落ち着いた市場の2〜3倍のIVになります。通常はプットがスキューを支配しますが、ユーフォリアではそれが反転することがあります。落ち着いた市場ではコンタンゴが、イベントではバックワーデーションが生じます。イベント前のサーフェスは、方向性が不確実なため両側のウィングが厚くなります。
自分で作ってみる
IV値を調整し、裁定をチェックして、結果をリアルタイムで確認してください。
独自スキュー構築
静かな市場、中程度のプットスキュー
| Strike | Delta | IV(click to edit) |
|---|---|---|
| $80k | 10Δ Put | 67% |
| $85k | 15Δ Put | 62% |
| $90k | 25Δ Put | 57% |
| $95k | 40Δ Put | 53% |
| $100k | ATM | 50% |
| $105k | 40Δ Call | 51% |
| $110k | 25Δ Call | 53% |
| $115k | 15Δ Call | 56% |
| $120k | 10Δ Call | 59% |
Click IV values in the table to edit directly. Invalid configurations will show arbitrage warnings.
Equation Explorer
値を入力して、このページ全体で使われている主要な量を計算してください。総分散、フォワード・ボラティリティ、対数マネーネス、BS価格付けです。
数式エクスプローラー
実践的な知恵
ボラティリティ・サーフェスを扱う際に覚えておきたいポイントをいくつか紹介します。
サーフェスはモデルであり、現実ではありません。 実際の取引から得られるのはグリッド点のごく一部だけです。流動性の低い行使価格で取引する際は、ビッド/アスクのスプレッドを確認してください。スプレッドが広ければモデルの出力です。スプレッドが狭ければ実際の流動性があります。
ウィングの気配値は不確実です。 ディープOTMのボラティリティ水準は、フィッティング・モデルに大きく依存します。異なる手法を使う2つのプラットフォームでは、同じ原資産でも異なるウィングIVが表示されます。最も信頼できるのはATMのグリークスです。
満期をまたいでベガを比較してはいけません。 7日オプションでの $100k のベガ・ポジションは、6か月オプションでの $100k のベガよりも格段に感応度が高くなります。ネッティングする前にベガに重み付けをしてください（時間の平方根から始めるのが手始めで、経験的な比率のほうが優れています）。
ヒストグラムはスキューについて嘘をつきます。 過去のリターンのヒストグラムからスキューを導くことはできません。ヒストグラムは経路を隠してしまいます。つまり、下落局面でボラティリティが上昇し、上昇局面で縮小するという事実です。スキューは、最終的な分布の形ではなく、経路に沿ったスポットとボラティリティの連動に関するものです。
ブラック・ショールズは間違っていますが、有用です。 トレーダーは、パラメータの多い「正しい」モデルを採用するのではなく、間違ったモデルのボラティリティ・パラメータを歪めること（サーフェスの作成）を選びました。パラメータが1つ増えるごとに推定が必要になり、推定誤差は積み重なります。サーフェスは市場の実用的な答えなのです。
モデルの詳細解説: SVI | ORC Wing | SABR | ローカル・ボラティリティ | 全手法の比較
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