ローカル・ボラティリティ

情報

このページではDupireのローカル・ボラティリティ・モデルを扱います。ボラティリティ・サーフェスの構築パイプラインの中での位置づけについては、サーフェスの構築方法をご覧ください。他の手法との比較については、補間手法をご覧ください。

ローカル・ボラティリティとは、特定の価格水準と時点における原資産の瞬間的なボラティリティです。拡散モデルに代入したときに、観測されるすべてのヨーロピアン・オプション価格を正確に再現する関数 $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$ のことを指します。

この考え方は、Bruno Dupire (1994) とDerman & Kani (1994) によってそれぞれ独立に提唱されました。追加の仮定を一切置かずに、インプライド・ボラティリティ・サーフェス全体と整合する唯一のモデルです。

インプライド・ボラティリティとローカル・ボラティリティ

重要なポイントは、インプライド・ボラティリティが満期までの経路に沿ったローカル・ボラティリティの加重平均であるという点です。ローカル・ボラティリティは瞬間的な、いわば「点ごとの」ボラティリティです。

インプライド・ボラティリティ vs ローカル・ボラティリティ

株式・暗号資産で典型的なスマイルです。ローカル・ボラティリティはインプライドより高く、より尖った形になります。

ローカル・ボラティリティ（実線）は常にインプライド・ボラティリティ（破線）より尖った形になります。インプライド・ボラティリティは、経路上のローカル・ボラティリティの加重平均です。

スマイルの形状を切り替えて、次の点に注目してください。

• ローカル・ボラティリティは常により尖った形になります。 インプライド・ボラティリティは経路全体で平均化されるため、極端な値がならされます。ローカル・ボラティリティは平均化される前の生の姿を示します。
• インプライド・スキューが急になるほど、ローカル・ボラティリティの変化も大きくなります。 急なスキューのケース(危機時)では、ローカル・ボラティリティは左側のウィングで発散します。これはモデルが「スポットがそこまで下落した場合、観測されるプットの価格と整合させるには瞬間的なボラティリティが非常に高くなければならない」と示しているということです。
• 両者の関係はスポットレートとフォワードレートの関係に似ています。 インプライド・ボラティリティはスポットレート(現在から満期までの平均)に相当し、ローカル・ボラティリティはフォワードレート(将来のある時点での瞬間的なレート)に相当します。

ローカル・ボラティリティの意味

原資産価格が、ボラティリティの地形の上を動いていくとイメージしてください。(価格, 時間) 空間の各点には、それぞれ固有のボラティリティがあります。原資産が動き回るにつれて、異なる瞬間的ボラティリティを経験することになります。

インプライド・ボラティリティが50%の30日物ATMオプションは、その経路上で40%から65%までのローカル・ボラティリティを通過するかもしれません。50%というインプライド・ボラティリティは、それらすべてのローカル・ボラティリティを各水準に滞在した時間で重み付けした、リスク中立下での平均値です。

同じ原資産プロセスに依存しているにもかかわらず、行使価格の異なる2つのオプションが異なるインプライド・ボラティリティを持ちうるのはこのためです。両者はローカル・ボラティリティの地形の異なる部分を通過しているのです。

ローカル・ボラティリティの使いどころ

エキゾチック・オプションの価格付け

ローカル・ボラティリティの主な用途です。手順は次のとおりです。

1. 市場でヨーロピアン・オプションの価格(またはインプライド・ボラティリティ)を観測する
2. アービトラージ・フリーなインプライド・ボラティリティ・サーフェスをフィットする(SVI、SSVIなどを使用)
3. Dupireの公式でローカル・ボラティリティ・サーフェスを導出する
4. ローカル・ボラティリティ・サーフェスを用いた数値的な価格付けエンジン(有限差分法によるPDEまたはモンテカルロ法)を構築する
5. ローカル・ボラティリティの地形の上で原資産を発展させて、エキゾチックの価格を求める

保証される性質: ローカル・ボラティリティの下で価格付けされたエキゾチックは、観測されるすべてのヨーロピアン・オプション価格と整合します。バリア・オプションの価格がバニラと矛盾しないことは、ヘッジにおいて重要です。

サーフェスと整合するグリークス

ローカル・ボラティリティの下で計算されるグリークスは、スポットの変動に伴ってボラティリティも変化するという事実を反映しています。ローカル・ボラティリティの下でのデルタはBlack-Scholesのデルタとは異なります。モデルが「別のスポット水準に移動すれば、異なるローカル・ボラティリティを経験する」ことを「知っている」からです。これは概念的には、Talebが「シャドー・ガンマ」と呼ぶもの、つまりスポットが動いたことでボラティリティが変化し、それによって生じる追加的なデルタの変化に近いものです。

ダイナミクスの問題

ローカル・ボラティリティにはよく知られた弱点が1つあります。スマイルのダイナミクスを誤って予測するという点です。

ローカル・ボラティリティの下では、ボラティリティはスポットの決定論的な関数です。スポットの位置がわかれば、ボラティリティも正確にわかります。ボラティリティに「サプライズ」は存在しません。これは次のことを意味します。

• スポットが下落したとき、ローカル・ボラティリティは「この価格ではボラティリティはもともとこの高さになるはずだった」とみなします。スマイルはフラットになります。
• 実際には、スポットが下落するとボラティリティはローカル・ボラティリティの予測以上に上昇することが多く、スマイルは急峻になります。

その結果、ローカル・ボラティリティは将来のスマイル形状に依存するオプション(バリア・オプション、フォワード・スタート・オプション、クリケット)を系統的に過小評価します。

ローカル・ボラティリティと他のモデルの比較

	ローカル・ボラティリティ	SVI	SABR
概要	各 (S, t) における瞬間的なボラティリティ	パラメトリックなスマイル形状	確率ボラティリティ・モデル
観測可能か	いいえ(導出される)	いいえ(フィットされる)	いいえ(フィットされる)
正確なキャリブレーション	はい(構成上)	近似	近似
スマイル・ダイナミクス	不正確(決定論的)	規定されない	より良い(確率的)
エキゾチックの価格付け	はい(主な用途)	いいえ	限定的
速度	遅い(PDE/MC)	速い	速い(公式)
最適な用途	バリア、アジアン、エキゾチック	バニラの価格付け、リスク管理	スワップション、FXバニラ

他のモデルとの関係

インプライド・ボラティリティからローカル・ボラティリティへ: Dupireの公式を用います。入力としてアービトラージ・フリーなインプライド・サーフェスが必要です。

ローカル・ボラティリティからインプライド・ボラティリティへ: ローカル・ボラティリティ・サーフェスの下でフォワードPDEを解き、ヨーロピアンの価格を求め、それを逆算してインプライド・ボラティリティを得ます。構成上、この往復は正確に一致します。

SABRとローカル・ボラティリティ: SABRの $\beta$ パラメータはローカル・ボラティリティのバックボーンを制御し(絶対ボラティリティ $\sim F^\beta$、したがってパーセンテージ・ボラティリティ $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$)、$\nu$ はその上に確率的なレイヤーを加えます。SABRは、追加のダイナミクスを備えたローカル・ボラティリティのパラメトリックな近似とみなすことができます。

SVIとローカル・ボラティリティ: SVIはインプライド・サーフェスを与え、そこからDupireの公式でローカル・ボラティリティが得られます。流れは次のとおりです: 市場気配 -> SVIフィット -> インプライド・サーフェス -> Dupire -> ローカル・ボラティリティ -> エキゾチック価格付けエンジン。

数学的な直感を養う

ローカル・ボラティリティをゼロから学ぶインタラクティブなレッスン · Dupireの公式を扱います

上のインタラクティブなレッスンでは、Dupireのローカル・ボラティリティ・モデルを基礎から解説します。インプライド・ボラティリティがなぜローカル・ボラティリティの経路加重平均になるのか、Dupireの公式が観測価格からどのようにローカル・ボラティリティを抽出するのか、インプライド・ボラティリティのスマイルとローカル・ボラティリティ・サーフェスの関係、そして経路依存型エキゾチックの価格付けにおいてローカル・ボラティリティがなぜ重要なのかを扱います。

オープンソース実装

リポジトリ	参照する理由
QuantLib	有限差分法による価格付けエンジンを備えたDupireローカル・ボラティリティ
OpenGamma Strata	市場データからのローカル・ボラティリティ・サーフェスの構築
RustQuant	Rustによるローカル・ボラティリティでの価格付け

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関連項目:

• SVIパラメータ化 - インプライド・サーフェスの構築に使われるモデル
• SABRモデル - 確率ボラティリティによる代替手法
• 補間手法 - すべての手法の比較
• サーフェスの構築方法 - パイプライン全体