Kou二重指数ジャンプ拡散モデル
Mertonはジャンプを単一の正規分布でモデル化します。つまり、上方ジャンプと下方ジャンプが同じ形状になります。これは誤りです。暴落は上昇よりも鋭く起こります。-20%のギャップは数分で発生しますが、+20%の上昇には数週間かかります。Kou (2002) は、上方ジャンプと下方ジャンプに異なるサイズを与えることでこの問題を解決します。
仕組みは、正規分布の代わりに指数分布を使うことです。下方ジャンプには一つの指数分布（通常は平均が大きい）、上方ジャンプには別の指数分布（通常は平均が小さい）を割り当てます。これにより、コールのウィングに触れずにプットのウィングを急峻にでき、その逆も可能です。
パラメータを探る
「Show Merton equiv」を切り替えると、対称な（Merton）モデルとKouの非対称なウィングを比較できます。「Crypto crashes」プリセットを試すと、急峻なプットのウィングと緩やかなコールのウィングを確認できます。
Kou 二重指数スマイル・エクスプローラー
「Merton 相当を表示」を切り替えて、非対称 (Kou) と対称 (Merton) のジャンプを比較してください。Kou では片側のウィングだけを独立して急勾配にできる点に注目してください。
各パラメータの役割
- ジャンプ頻度 (lambda)：年間のジャンプ回数です。ゼロの場合はBlack-Scholes（フラットなスマイル）になります。lambdaを大きくすると両方のウィングが持ち上がります。上方でも下方でも、どのジャンプもOTMオプションの価値を高めるためです。
- 上方ジャンプ確率 (p)：ジャンプのうち上方向に動く割合です。pが低いと、ほとんどのジャンプが暴落になります。これはスキューのバランスを変化させます。
- 上方ジャンプサイズ：上方向のギャップの平均的な大きさです。大きいほどコールのウィングが急峻になります。
- 下方ジャンプサイズ：下方向のギャップの平均的な大きさです。大きいほどプットのウィングが急峻になります。暗号資産では、通常、上方ジャンプサイズの2〜4倍です。
Kouがウィングを形づくる仕組み
ウィングの独立したコントロール
Mertonでは、負の平均ジャンプによってプットのウィングを急峻にすると、コールのウィングにも影響します（正規分布は平均の周りで対称なためです）。Kouでは、下方ジャンプサイズがプットのウィングを、上方ジャンプサイズがコールのウィングをコントロールします。「Show Merton equiv」を切り替えて違いを確認してください。
Kou vs. Merton
暗号資産トレーダーが気にすべき理由
暗号資産のギャップリスクは大きく非対称です：
パターンに注目してください。下落は上昇よりも速く、大きく起こります。Mertonはこの非対称性をきれいに捉えられません。平均を負の方向にずらすことはできますが、その平均の周りでの正規分布の対称性が、依然としてコールのウィングに波及します。Kouの二重指数分布は、この二つを自然に分離します。
ウィングを独立にフィッティングするためのジャンプモデル
Kouはプットとコールのウィングを分離します。下方ジャンプサイズは暴落のパラメータ、上方ジャンプサイズは上昇のパラメータです。両者は干渉しません。OTMのプットとコールを別々のブックとして運用しているなら（暗号資産ではそうすべきです）、Kouはその構造に合致します。
方程式エクスプローラー
数式エクスプローラー
💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。
数学的な直感を養う
Kouを基礎から学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要ですこのレッスンでは、モデルを上方と下方の独立したジャンプエンジンとして説明し、 二重指数分布の直感と、それがMertonよりもすっきりとした ウィングのコントロールを可能にする理由を順に解説します。
関連項目：
- Mertonジャンプ拡散モデル：対称なジャンプを持つ前身モデル
- Batesモデル：確率ボラティリティとMertonのジャンプを組み合わせたモデル
- Variance Gamma：拡散項を持たない純粋なジャンプモデル
- Hestonモデル：確率ボラティリティ（スマイルを得るもう一つの方法）
- スキュー：スマイルが傾く理由
- Black-Scholes：ジャンプのないベースライン
- 補間手法：全手法の比較