ボラティリティ・サーフェスの補間手法

情報

このページはボラティリティ・サーフェスの構築方法の関連ページです。補間がなぜ重要なのかについては、まずそちらをご覧ください。

ボラティリティ・サーフェスには欠落があります。補間はその欠落を埋めます。どの手法を選ぶかによって、得られるサーフェスが滑らかで、裁定機会がなく、安定したものになるかどうかが決まります。このページでは主要なアプローチを比較します。

補間手法の比較

白い点 のみが実際の市場クオート。その間はすべて推定。各手法をクリックして長所短所を確認。

何が問題になるのか

各手法を詳しく見る前に、まず問題をご自身で確認してください。同じ7つの市場観測値に対して、3つの異なる補間手法を適用しています。ウイング部分とデータ点で何が起きるかに注目してください。

何が問題になるのか：補間の失敗例

同じ7つの市場観測値に、3つの異なる補間手法を適用します。ウィング部分で何が起こるかご覧ください。

滑らかな多項式曲線です。ウィングで振動やオーバーシュートが発生することがあります。

白い点だけが実際の観測値です。「すべて比較」をクリックすると3つの手法を重ねて表示できます。スプラインが左ウィングでオーバーシュートする一方、SVIは有界にとどまる点にご注目ください。

---

ノンパラメトリック手法

これらの手法は、関数形を仮定せずにデータ点を通る曲線をフィットさせます。高速かつシンプルですが、構造的な保証は一切ありません。

線形補間

隣接するデータ点の間を直線で結びます。

利点:

• 実装が極めて簡単
• フィッティングや最適化が不要
• 決定論的: 同じ入力からは常に同じ出力が得られる

欠点:

• すべてのデータ点で鋭い角が生じます。これらの角によって1階微分が不連続になり、グリークス(特にガンマ)が観測されたストライクで急激にジャンプします。
• バタフライ裁定を防ぐ保証がありません。2点間の直線は、凸状のスマイルがあるべき位置より下に落ち込むことがあります。
• 外挿は単なる推測です(最後の区間の傾きを延長するだけです)。

用途: 簡易的な見積もり、妥当性チェック、デバッグ。本番のプライシングには使用しません。

3次スプライン補間

データ点の間に区分的な3次多項式をフィットさせ、各接合点で1階微分と2階微分が一致するように制約します。結果は $C^2$ 級の滑らかな曲線(曲率が連続)になります。

名前は製図用の物理的なスプラインに由来します。製図工がピンに沿って曲げ、滑らかな曲線を描くために使った柔軟な木の細板のことです。

利点:

• すべてのデータ点を通る滑らかな曲線
• パラメータ推定が不要(スプラインはデータと境界条件によって決まる)
• 計算が高速

欠点:

• ルンゲ現象: 補間領域の端で、多項式が大きくオーバーシュートすることがあります。ボラティリティ・サーフェスでは、ウイングのIVが急騰したり負になったりすることを意味します。
• 振動: データ点の間で、3次多項式が素直なスマイルの形状より上下に振れ、凹状のくぼみ(バタフライ裁定)を生じることがあります。
• 外れ値への感応度: 不正なデータ点が1つあるだけで(古いクオート、誤発注など)、平滑性の制約によって誤差が伝播し、曲線全体が歪みます。
• 外挿の挙動を制御できません。

用途: 可視化、学術研究、またはパラメトリック・フィッティング前の初期推定値として。本番のプライシングやリスク管理には使用しません。

---

パラメトリック手法

これらの手法はスマイルの関数形を仮定し、そのパラメータをデータにフィットさせます。厳密な補間と引き換えに構造的な制御を得ます。

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

暗号資産および株式のボラティリティ・サーフェスにおける業界標準です。満期スライスごとに5つのパラメータを持ちます。

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

詳細なリファレンスはこちら: SVIパラメータ化

主流である理由: SVIは柔軟性と簡潔さの最適なバランスにあります。5つのパラメータで観測されるほぼすべてのスマイル形状にフィットでき、単純な不等式制約と低コストの密度チェックによってバタフライ裁定を排除できます。ウイングは線形の漸近線に近づくため、外挿は有界かつ妥当なものになります。

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

ボラティリティがどのように変化するかについての仮定からスマイルを導出する確率ボラティリティ・モデルです。パラメータは4つです: $\alpha$(ボラティリティ水準)、$\beta$(CEV指数)、$\rho$(スポットとボラティリティの相関)、$\nu$(ボラティリティのボラティリティ)。

詳細なリファレンスはこちら: SABRモデル

存在する理由: SABRは静的な形状だけでなく、スマイルのダイナミクスを捉えます。原資産が動いたときにスマイルがどう動くべきかを示します(デフォルトはスティッキー・デルタ)。そのため、スマイルのダイナミクスがヘッジにとって重要な金利スワップションに自然に適しています。

ローカル・ボラティリティ (Dupire)

通常の意味でのフィッティング手法ではありません。ローカル・ボラティリティは、観測されたインプライド・ボラティリティ・サーフェスから瞬間的なボラティリティ・サーフェスを導出します。「これらのオプション価格を正確に再現するには、各(スポット、時間)の組み合わせにおける瞬間ボラティリティはいくらでなければならないか」という問いに答えます。

詳細なリファレンスはこちら: ローカル・ボラティリティ

存在する理由: ローカル・ボラティリティは、観測されたすべてのオプション価格に正確に一致する唯一の裁定のないモデルです。インプライド・ボラティリティと、経路依存型のペイオフを扱えるプライシング・エンジンとの橋渡しとなります。

SSVI (Surface SVI)

スライスごとではなく、サーフェス全体を同時にモデル化するSVIの拡張です。SSVIは構造上、カレンダー裁定がないことを保証します。トータル分散は、すべてのストライクで満期とともに増加することが保証されます。

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

ここで $\theta_t$ は時点 $t$ におけるATMトータル分散、$\varphi(\theta_t)$ はスキューが満期とともにどう変化するかを制御します。

トレードオフ: スライスごとのSVIより自由パラメータが少ない(スマイル形状が満期間で連動する)ため、個々のスライスではフィットがわずかに劣る場合があります。しかし、事後的なカレンダー裁定の修正は一切不要になります。

---

比較表

手法

パラメータ

裁定なし?

外挿

速度

最適な用途

線形

0

いいえ

非有界

即時

デバッグ

3次スプライン

約12(暗黙的)

いいえ

振動する

高速

可視化

SVI

スライスごとに5

はい(制約付き)

有界な線形

高速

暗号資産 / 株式

SABR

4

ほぼ

妥当

中程度

金利 / スワップション

ローカル・ボラティリティ

フルグリッド

構造上保証

該当なし(導出)

低速

エキゾチックのプライシング

SSVI

約6(サーフェス)

はい(カレンダーも)

有界

高速

サーフェス全体の整合性

選び方

• 暗号資産/株式の本番プライシング: SVIまたはSSVI。業界がここに収束したのには十分な理由があります。
• 金利オプション: SABR。スワップションのヘッジに重要なスマイルのダイナミクスを捉えます。
• エキゾチック・デリバティブのプライシング: ローカル・ボラティリティ(または確率ローカル・ボラティリティのハイブリッド)。スライスだけでなく、サーフェス全体が必要です。
• 簡易分析や可視化: それを元に取引しない限り、3次スプラインで問題ありません。
• 使うべきでないもの: 本番環境での線形補間。本当に使わないでください。

---

数式エクスプローラー

すべての補間手法は、トータル分散と対数マネーネスを扱います。この計算機を使って表現形式を相互に変換できます。

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

---

関連項目:

• ボラティリティ・サーフェスの構築方法 - パイプライン全体
• SVIパラメータ化 - SVIの詳細解説
• SABRモデル - SABRの詳細解説
• ローカル・ボラティリティ - Dupireの詳細解説