Hestonモデル
Hestonは、実用的な価格式を持つ最初の確率ボラティリティ・モデルです。ボラティリティは長期水準へ引き戻される過程に従い、無限大へ発散することはありません。これは市場で実際に観察される挙動、つまりボラティリティが急騰した後に落ち着いていく動きと一致します。このモデルは価格変動とボラティリティ変動の相関を通じてスキューとスマイルを生み出し、1組のパラメータから完全なボラティリティ・サーフェスを生成します。
暗号資産でHestonを使う必要はありません。しかし、その後に登場した確率ボラティリティ・モデル、すなわちSABR、ラフ・ベルゴミ、確率局所ボラティリティはすべて、このアイデアの子孫です。Hestonを理解することは、現代のインプライド・ボラティリティ・モデリングのDNAを理解することです。
概念上の祖先
確率ボラティリティにおけるHestonは、オプション価格評価におけるブラック・ショールズと同じ位置づけです。つまり、他のすべてのモデルが拡張し、あるいは反発する基礎的な枠組みです。暗号資産でHestonを使う必要はありませんが、実際に使うモデルを理解するためにはHestonを理解する必要があります。
パラメータの直感的な理解
各パラメータを調整して、Hestonのスマイルがどう変化するかを確認してください。
ヘストン・スマイル・エクスプローラー
ρ はスキュー（傾き）、σ は曲率（ウィングの幅）、κ/θ/v₀ はボラティリティ水準と期間構造を制御します。
5つのパラメータの概要：
各パラメータの感覚
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kappa(平均回帰速度)：ボラティリティが平常水準に戻る速さです。kappaが高いとボラティリティ・ショックはすぐに消え、期間構造は平坦化します。kappaが低いとボラティリティのレジームが長く続きます。暗号資産ではkappaは低い傾向があり、ボラティリティのレジームは粘着的です。
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theta(長期分散)：時間とともに過程が引き寄せられるボラティリティ水準です。thetaの平方根がおおよそ長期満期のATMボラティリティになります。BTCでは、通常、年率50-70%です。
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sigma(ボラティリティのボラティリティ)：スマイルの幅を制御します。sigma = 0のときスマイルはありません。sigmaが上がるにつれて両ウィングが持ち上がります。SABRのnuと同じ考え方です。sigmaが高い＝ファットテール＝OTMウィングが割高になります。
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rho(スポットとボラティリティの相関)：スキューを制御します。負のrhoは、原資産が下落するとボラティリティが上昇することを意味します。暗号資産では、rhoは通常-0.5から-0.8です。より負になるほどプット・スキューが急峻になります。これはデルタヘッジの挙動に直接影響します。
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v0(初期分散)：現在のボラティリティ水準です。v0がthetaより上なら、期間構造は右下がりになります(ボラティリティは低下していくと予想される)。v0がthetaより下なら右上がりになります。ボラティリティ急騰の後はv0 >> thetaとなり、期間構造は逆転します。
平均回帰がHestonとSABRを分ける
Hestonのボラティリティ過程は長期水準へ引き戻されます。SABRはそうではなく、どこまでもドリフトし得ます。Hestonのボラティリティは無限大へ発散しません。SABRは発散し得るため、非現実的な長期満期スマイルを生むことがあります。ベガヘッジにおいては、平均回帰によって長期満期のベガ・エクスポージャーが予測可能な形で減衰します。
強みと限界
暗号資産のスマイル・フィッティングにHestonを使わないでください
暗号資産オプションのボラティリティ・サーフェスを構築するなら、SVIまたはSSVIを使ってください。Hestonの5パラメータ・フィッティングは、専用のスマイル・モデルより遅く、不安定で、フィットも劣ります。Hestonは価格評価モデルであり、スマイル・フィッティング・ツールではありません。その価値は概念的なものです。追加の制約なしではカレンダー・アービトラージの問題を回避できませんが、SSVIは構造上カレンダー・アービトラージのないサーフェスを保証します。
Heston対SABR
系統樹
「確率分散」や「平均回帰するボラティリティ」を持つボラティリティ・モデルを見かけたら、それはHestonの子孫です。
数式エクスプローラー
インプライド・ボラティリティ、トータル分散、対数マネーネス、オプション価格を相互に変換します。
数式エクスプローラー
数学的直感を身につける
Hestonをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要ですこのレッスンでは、Hestonを2つのエンジン、つまりスポットの変動と分散の変動からなるシステムとして解説します。5つのパラメータ、2つの方程式、そして負のrhoがスキューを生み出す正確な理由を順に説明します。
関連項目：
- SABRモデル：よりシンプルなフィッティングの確率ボラティリティ
- SVIパラメータ化：暗号資産におけるスマイル・フィッティングの標準
- SSVI：サーフェス全体へ拡張したSVI
- ラフ・ベルゴミ：非整数型の確率ボラティリティ
- スキュー：インプライド・ボラティリティの行使価格構造パターン
- 期間構造：満期によってスマイルがどう変化するか
- 補間手法：全手法の比較
💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。