ディスプレイスト・ディフュージョン

ディスプレイスト・ディフュージョン（シフテッド・ログノーマル・モデルとも呼ばれます）は、ブラック・ショールズの価格軸をシフトさせたモデルです。フォワード価格 $F$ を直接モデル化する代わりに、$F + d$ が対数正規分布に従うとしてモデル化します。ここで $d$ はディスプレイスメント（シフト量）です。これにより、確率ボラティリティを一切使わず、座標をずらすだけでスキューが生まれます。

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座標のシフトがスキューを生む

負のディスプレイスメントでは、原資産価格がゼロを下回ることが可能になります（金利で有用です）。正のディスプレイスメントはスマイルを右にシフトさせます。このシフトがブラック・ショールズの対称性を崩し、スキューを生み出します。ATMの水準は変わらず、OTMオプションの価格が再評価されます。

パラメータを探る

ディスプレイスメントのスライダーを動かすと、価格軸のシフトがどのように非対称性を生むかを確認できます。ボラティリティのスライダーは全体の水準を調整します。青の破線はシフトなし（ブラック・ショールズ）のケースを示しています。

変位拡散エクスプローラー

変位ゼロ。純粋な対数正規分布 -- フラットなスマイル、スキューなし。

ボラティリティ水準40%

シフトされたプロセスのベース・ボラティリティ

変位 (d)0

負 = 負の価格を許容、正 = 右方向へシフト

変位スライダーを動かして、価格軸のシフトがスキューを生む様子を確認してください。青い破線は参考としてシフトなしのスマイルを示します。

各パラメータの役割

• sigma（ボラティリティ水準）： シフト後のフォワードに適用されるインプライド・ボラティリティです。sigma が高いほど、すべてのオプションが割高になります。
• ディスプレイスメント（d）： 価格軸をどれだけシフトさせるかを表します。負の d はプットスキュー（価格が下がるとボラティリティが上昇）を生みます。正の d は緩やかなコールスキューを生みます。ディスプレイスメントがゼロの場合は標準的なブラック・ショールズです。

長所と限界

長所

あなたにとっての意味

負の値を扱える

負のディスプレイスメントを用いると、モデルは原資産価格が負になることを許容します。これは金利がマイナスになった際に極めて重要でした。

閉形式での価格算出

文字どおり、入力をシフトしたブラック・ショールズです。BSのあらゆる公式、あらゆるグリークスがそのまま正確に適用できます。

パラメータは2つ

ボラティリティ水準とディスプレイスメントだけです。キャリブレーションが簡単で、過剰適合しにくいモデルです。

限界

あなたにとっての意味

スマイルの曲率がない

CEVと同様に、ディスプレイスト・ディフュージョンはスキュー（傾き）を生みますが、スマイル（曲率）は生みません。両ウィングが上向きに曲がる市場のスマイルにはフィットできません。

線形のスキューのみ

生成されるスキューは行使価格に対してほぼ線形です。実際の市場のスキューには曲率があり、特に短期のオプションで顕著です。

ディスプレイスメントは恣意的

特定のディスプレイスメントの値に経済的な根拠はありません。これはフィッティング用の調整つまみであり、モデルから得られる洞察ではありません。

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ブラック・ショールズからスキューへの最短ルート

ディスプレイスト・ディフュージョンは、ブラック・ショールズにスキューを加える最も手早い方法です。出発点としては優れていますが、実際の市場にはより多くのパラメータが必要です。期間構造全体にわたって適切なデルタヘッジやベガヘッジを行うには、より表現力の高いモデルが必要です。

数式エクスプローラー

インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格を相互に変換できます。

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

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次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: 負のディスプレイスメントはボラティリティ・スマイルにどのような影響を与えますか？

Q: 2014年から2016年頃、なぜディスプレイスト・ディフュージョンは金利市場で広く使われたのですか？

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的な直感を養う

ディスプレイスト・ディフュージョンを基礎から学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、価格軸をシフトするテクニックを平易な言葉で説明し、 ディスプレイスメント・パラメータがスマイルをどのように変化させるかを示したうえで、 このモデルをブラック・ショールズの直感と結びつけます。

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関連項目：

• CEVモデル：もう一つのシンプルなスキューモデル（べき乗則のバックボーン）
• SABRモデル：本格的な確率ボラティリティモデル（CEVバックボーン + ボラティリティのボラティリティ）
• スキュー：スマイルが傾く理由
• 補間手法：すべてのスマイルモデルの比較