CEVモデル

CEV（Constant Elasticity of Variance、定弾力性分散）は、スキューを生み出す最もシンプルなモデルです。SABRの骨格でもあり、SABRのボル・オブ・ボルをゼロにするとCEVになります。すべてを1つのパラメータが決めます。

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パラメータは1つ：ベータ

ベータは、ボラティリティが原資産価格に応じてどう変化するかを決めます。ベータが低いほどスキューが大きくなります。モデルはこれだけです。

ベータを動かしてみる

スライダーをドラッグすると、ベータが対数正規（フラット）から正規（急なスキュー）へ移るにつれてスマイルがどう変わるかを確認できます。青い破線は常にブラック・ショールズの基準（ベータ = 1）を示しているため、CEVが加えるスキューを見比べられます。

CEVスマイル・エクスプローラー

金利市場の伝統的な仮定です。価格が下がるとボラティリティが上昇し、緩やかなプット・スキューが生まれます。

β（バックボーン）0.50

0 = 正規、0.5 = 平方根、1 = 対数正規（Black-Scholes）

βを下げると、スキューがどのように現れるかを確認できます。青い破線は参考としてフラットなBlack-Scholesスマイルを示しています。

ベータの役割

• ベータ = 1（対数正規）： 変動率が一定に保たれます。価格50の資産も価格500の資産も、1日に2%ずつ動きます。これはブラック・ショールズであり、スマイルは完全にフラットでスキューはありません。
• ベータ = 0.5（平方根）： 中間的なケースです。価格が下がるとインプライド・ボラティリティは上昇しますが、正規モデルほど急激ではありません。金利市場で伝統的に用いられてきた仮定です。
• ベータ = 0（正規）： 金額ベースの変動が一定に保たれます。価格水準にかかわらず、$1の変動は$1の変動です。価格が下がるとボラティリティ（パーセント表示）が急上昇し、スキューは最大になります。ATMのボラティリティは一定のまま、OTMプットのボラティリティは急上昇します。

長所と限界

長所

あなたにとっての意味

パラメータは1つ

過剰適合の余地がありません。ベータは、ボラティリティと価格の関係についての単一の仮定を表します。

自然なスキュー

ベータを下げるだけでプット・スキューが生まれます。追加のフィッティングは不要です。

SABRの土台

CEVを理解すると、SABR内部でベータ・パラメータが何をしているかを直感的につかめます。

限界

あなたにとっての意味

スマイルの曲率がない

CEVはスキュー（傾き）を生みますが、スマイル（曲率）は生みません。両翼は持ち上がりません。そのためには（SABRのような）ボル・オブ・ボルが必要です。

静的

ローカル・ボラティリティ・モデルです。現時点でボラティリティがどう振る舞うかを記述するもので、ボラティリティ自体がランダムに変化する様子は表しません。

単独では使われない

CEVは常にSABRや他のモデルの一部として使われます。トレーディングのためにCEV単体をキャリブレーションする人はいません。

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トレーディング・モデルではなく構成要素

CEVは、トレーディング・モデルであるSABRの内部でベータが何をしているかを教えてくれます。SABRのベータがわかりにくいときは、ここに戻ってきてください。デルタヘッジやベガヘッジには、期間構造も捉えられるモデルが必要です。

方程式エクスプローラー

インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格を相互に変換できます。

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

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次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: ベータを1から0に向けて下げると、ボラティリティ・スマイルはどうなりますか？

Q: CEVがボラティリティ・スマイル（両翼の曲率）を生み出せないのはなぜですか？

Q: SABRで nu = 0 とすると、どのモデルになりますか？

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的な直感を身につける

CEVを基礎から学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、ボラティリティが価格水準に依存しうるという考え方から出発し、 ベータがどのようにスキューを生むのか、そしてCEVがブラック・ショールズ、正規モデル、 SABRの間でどのような位置にあるのかを説明します。

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関連項目：

• SABRモデル：CEV + 確率的なボル・オブ・ボル
• ディスプレイスド・ディフュージョン：もう1つのシンプルなスキュー・モデル（シフト対数正規）
• スキュー：スマイルが傾く理由
• 補間手法：全スマイル・モデルの比較