ゼロから学ぶ静的レプリケーション
1/5あらゆるペイオフはよりシンプルなペイオフの合計である
これまで目にしてきた複雑なペイオフ図はすべて、よりシンプルな部品のポートフォリオにすぎません。コール、プット、フォワード。目に見える形は、個々のペイオフラインの合計です。
バタフライは3本のコールです。ストラドルはコールとプットの組み合わせです。カラーは原資産にプットを加え、コールを差し引いたものです。いずれもエキゾチックではありません。単なるバニラの線形結合です。
以下からペイオフの形状を選択し、分解を押すと、緑の曲線を構成する各要素が表示されます。破線は個々のレッグです。それらを合計すると緑の実線になります。
あらゆるペイオフがよりシンプルなペイオフの合計であるなら、任意のペイオフの価格付けは各部品の価格付けに帰着します。そして部品を取引できるなら、特注の商品を必要とせずに望む形状を複製できます。これが静的複製の核心的な約束です。
構成要素としてのバニラ
コールスプレッドは2本のコール、バタフライは3本、アイアンコンドルは4本です。適切な行使価格のコールとプットを十分に揃えれば、あらゆる区分線形ペイオフを近似できます。
各バニラオプションは、組み合わされたペイオフに一つの「折れ点」をもたらします。行使価格 K のコールは、K でペイオフを上向きに折り曲げます。行使価格 K のプットは、K より下でペイオフを上向きに折り曲げます。どの折れ点も、そのオプションの数量だけ傾きを変化させます。
以下で自分のポートフォリオを構築してみましょう。異なる行使価格にコールとプットを追加すると、合成ペイオフがリアルタイムに更新されます。90 と 120 の間でフラットになり、その外側では何もないペイオフを作ってみてください。
Breeden-Litzenberger の結果
行使価格に関するコール価格の2階微分はリスク中立確率密度を与えます。市場は、起こり得るあらゆる結果の確率を暗黙のうちに示しているのです。
Breeden と Litzenberger（1978）は、行使価格ごとのコール価格のグリッドを取り、各点の曲率を計算すれば、リスク中立分布の密度関数が復元できることを示しました。モデルは不要です。価格と算術だけです。
緑の曲線が抽出された密度です。ピークは、市場が原資産の決済価格として最も可能性が高いと考える水準を示します。幅は市場の不確実性の大きさを示します。ボラティリティを上げて、密度が平坦になり広がる様子を確認してください。
これは推定値でもモデルの出力でもありません。市場価格からの直接的でモデルフリーな抽出です。唯一の前提は、コール価格が行使価格に関して2回微分可能であることであり、これは裁定機会のない市場であれば常に満たされます。
バイナリーの複製
バイナリーコールは行使価格より上で $1、下で $0 を支払います。これはタイトなコールスプレッド：K でコールを買い、K+ でコールを売り、ε、そして 1/ でスケールしますε。スプレッド幅がゼロに近づくと、ランプはステップになります。
これがバニラとバイナリーを結ぶ根本的なつながりです。バイナリーは、スプレッド幅を縮めていったときのコールスプレッドの極限です。同値な表現として、バイナリーは行使価格に関するコール価格の微分に負号を付けたものです：D(K) = −∂C/∂K.
スライダーをドラッグしてスプレッドを狭めてください。青いランプが緑のステップ関数に収束する様子を確認しましょう。
任意のペイオフの複製
Carr と Madan（1998）は、あらゆる2回微分可能なヨーロピアン・ペイオフが3つの要素に分解できることを証明しました。すなわち、フォワードポジション、フォワードより下の OTM プットのストリップ、フォワードより上の OTM コールのストリップです。
これが Carr-Madan の公式です。目標とするペイオフの曲率、すなわち2階微分 f″(K) が、各 OTM オプションをどれだけ必要とするかを決める、というものです。ペイオフの線形部分はフォワードで捉えられ、曲率はオプションのストリップで捉えられます。
以下からペイオフを選択し、Carr-Madan 分解を表示を押すと、3つの要素が表示されます。黄色の線がフォワード成分、赤い領域が OTM プットのストリップ、青い領域が OTM コールのストリップです。合計すると緑のターゲットになります。
F（フォワード価格）に境界線があることに注目してください。F より下ではプットのみが寄与し、F より上ではコールのみが寄与します。これは恣意的ではありません。同じ情報量に対して OTM オプションは ITM オプションより安価なため、OTM オプションを使うことで複製コストが最小化されるのです。
Carr-Madan 分解は、バリアンススワップ、VIX の算出、ポートフォリオ複製戦略の理論的基礎です。VIX の計算式は、まさにこの積分の離散近似そのものです。「オプションのストリップ」を目にするたびに、その背後にはこの数学があります。