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Batesモデル

Bates (1996) は、Heston に Merton のジャンプを加えたモデルです。確率ボラティリティが日々の滑らかな変動を、ジャンプがギャップリスクを担います。エキゾチックデスクの多くは SLV かBatesのいずれかを使っています。

HestonもMertonも、単独では暗号資産にフィットしません。粘着的なボラティリティ・レジームと突然のギャップには、それぞれ別のメカニズムが必要です。

💡
Heston単独では短期の急峻なウィングを生成できない

暗号資産は1ブロックで15%ギャップすることがあります。ボラティリティのボラティリティをどれだけ上げても、清算の連鎖後に見られる短期の急峻なウィングは再現できません。そこを埋めるのがジャンプです。Bates = 平常時のHeston + クラッシュ時のMerton です。

パラメータを動かしてみる​

「Show Heston only」を切り替えると、破線の Heston カーブが表示されます。破線と実線のBatesカーブの差が、純粋なジャンプの寄与分です。

ベイツ・スマイル・エクスプローラー

頻繁なギャップと高いボラのボラ。確率的ボラとジャンプの両方により、プット・ウィングが急な幅広いスマイルになります。
35%53%71%758595ATM105115125行使価格インプライド・ボラティリティ (%)ベイツ（フル）ヘストンのみ
ボラのボラ0.70
ヘストン側：スマイルの曲率を制御します
ρ（スポット・ボラ相関）-0.60
負 = 確率的ボラティリティによるプット・スキュー
ジャンプ頻度2.00
年間の期待ジャンプ回数。0 = 純粋なヘストン。
ジャンプ・スキュー-0.12
平均ジャンプ方向。負 = 暴落バイアス。

「ヘストンのみを表示」を切り替えると、確率的ボラのみの点線カーブが表示されます。2本の線の差がジャンプの寄与分です。

各パラメータの役割​

  • ボラティリティのボラティリティ: Heston側のパラメータです。ランダムなボラティリティによるスマイルの曲率を制御します。高いほど、ジャンプがなくてもスマイルが広がります。
  • スポット・ボラティリティ相関: 確率ボラティリティ成分によるスキューを制御します。負に大きいほど、価格とボラティリティの連動によってプット側のウィングが急峻になります。
  • ジャンプ頻度: 年間のギャップ発生回数です。ゼロなら純粋なHestonです。2ならおおよそ半年に1回のギャップです。両側のウィングを持ち上げます。
  • ジャンプ・スキュー: ジャンプの平均的な方向です。負であればクラッシュが優勢です。rhoが既に生み出しているスキューに上乗せして、プット側のウィングを急峻にします。

スキューの2つの源泉​

Batesには互いに独立した2つのスキュー源泉があります。

源泉
パラメータ
作用
効く領域
確率ボラティリティ
ρ (スポット・ボラティリティ相関)
価格下落時にボラティリティが上昇 → プットスキュー
全満期、特に長期
ジャンプ
μⱼ (ジャンプ・スキュー)
クラッシュがラリーより大きい → プットスキュー
短期 (ジャンプは突発的なイベント)

短期側 (ウィークリーや7日満期) ではジャンプ・スキューが支配的で、長期側では バンナ に起因する確率ボラティリティのスキューが支配的です。Batesを使えば、この2つの期間構造レジームを両方とらえられます。

ℹ️
分解のテクニック

ジャンプ頻度を調整しながらHestonのオーバーレイをオン・オフすると、それぞれのメカニズムからどれだけのスキューが来ているかを正確に確認できます。実務のデスクでは、この分解によって、スキューの損益がボラティリティのダイナミクスから来ているのか、イベントリスクから来ているのかがわかります。

各成分が効く場面​

満期
支配的なメカニズム
理由
1-7日
ジャンプ
ボラティリティのダイナミクスが働く時間が足りません。1回のギャップイベントがウィングの価格を決めます。
7-30日
両方
ジャンプと確率ボラティリティの両方が寄与します。どちらか単独よりBatesが優れるのはこの領域です。
30-90日
確率ボラティリティ
複数回のボラティリティ・レジーム変化によりジャンプの寄与が平均化されます。スキューはrhoが支配します。
90日以上
確率ボラティリティ
中心極限定理により、ジャンプは追加の拡散のように見えます。すべてを平均回帰が動かします。
💡
Batesを使うべき場面

短期のウィングがジャンプから、長期のスキューが確率ボラティリティから生じる、満期をまたいだプライシングです。1つのモデルで2つのレジームを扱えます。

強みと限界​

強み
実務上の意味
滑らかな変動とギャップの両方を扱える
暗号資産の短期と長期のスマイルを1つのモデルで同時にフィットできる唯一の方法です。
準解析的なプライシングを維持
Hestonと同様にフーリエ逆変換が使えます。リアルタイムのグリークス計算にも十分な速度です。
スキューを分解できる
スキューの損益を、ジャンプ成分と確率ボラティリティ成分に帰属させられます。
実務水準
本格的なエキゾチックデスクで、バリア、バミューダン、オートコーラブルに使われています。
限界
実務上の意味
パラメータが7個以上
Heston (5) + ジャンプ (3) で調整項目が多すぎます。キャリブレーションが難しく、不安定になり得ます。
パラメータの識別性
確率ボラティリティとジャンプは似たスマイルを生成し得ます。スマイルのデータだけでは両者を切り分けにくいです。
ジャンプがi.i.d.
実際のクラッシュはクラスター化します。Batesのジャンプは独立したイベントで、伝染やモメンタムはありません。
バニラには過剰
現在のスマイルにフィットさせるだけなら、SVIの方がシンプルで安定しています。
⚠️
キャリブレーションの注意

自由パラメータが7個以上あると、ノイズも含めてほぼ何にでもフィットしてしまいます。デスクでは、いくつかのパラメータ (kappa、theta) をインプライド・ボラティリティの期間構造から固定し、日次ではボラティリティのボラティリティ、rho、ジャンプ・パラメータのみをキャリブレーションします。すべてのパラメータを同時に自由にしてはいけません。

Batesと他モデルの比較​

Bates
Heston
Merton
SLV
短期のウィング
急峻 (ジャンプ)
平坦すぎる
急峻 (ジャンプ)
完全フィット
長期のスマイル
滑らか (確率ボラティリティ)
滑らか (確率ボラティリティ)
消えていく
完全フィット
プライシング速度
高速 (フーリエ)
高速 (フーリエ)
高速 (級数)
低速 (PDE/MC)
パラメータ数
7-8
5
4
多数 (ローカル・ボラティリティのグリッド)
キャリブレーション
難しい
中程度
簡単
複雑
最適な用途
満期をまたぐエキゾチック
長期のボラティリティ取引
短期のイベント
完全フィットが必要な場合

数式エクスプローラー​

数式エクスプローラー

$
$
日
%
%
コール価格
$8300
プット価格
$7890
コール Δ
0.555
d₁
0.102
ベガ
$114

次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: BatesがHeston単独よりも暗号資産の短期スマイルにうまくフィットするのはなぜですか？
Q: Batesにはプットスキューの独立した源泉が2つあります。それぞれ何で、どの場面で支配的になりますか？
Q: Batesのキャリブレーションにおける主な実務上の問題は何ですか？
Q: エキゾチックのプライシングでSLVではなくBatesを選ぶのはどんな場合ですか？

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的な直感を身につける​

Batesを基礎から学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、BatesをHestonにジャンプを加えたものとして捉え、どのパラメータが滑らかなスキューを制御し、どのパラメータがギャップリスクを制御するのか、そしてなぜ短期側が先に変化するのかを解説します。

関連項目:

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