Batesモデル
Bates（1996）はHestonにMertonジャンプを追加したものです。確率的ボラティリティが日々の滑らかなダイナミクスをカバーし、ジャンプがギャップリスクをカバーします。ほとんどのエキゾチックデスクはSLVまたはBatesのいずれかを運用しています。
HestonもMertonも単独では暗号資産市場にフィットしません。粘着的なボラティリティ・レジームと突然のギャップの両方に、それぞれ別のメカニズムが必要だからです。
Heston単独では急峻な短期ウィングを生成できない
暗号資産は1ブロックで15%のギャップが生じることがあります。ボラティリティのボラティリティ（ボル・オブ・ボル）をどれだけ高めても、清算カスケード後に見られる急峻な短期ウィングは再現できません。そのギャップを埋めるのがジャンプです。Bates = 平常時のHeston + クラッシュ時のMerton、というわけです。
パラメータを探索する
「Show Heston only」を切り替えると、破線のHeston曲線が表示されます。破線と実線のBates曲線の差が、純粋なジャンプの寄与分です。
ベイツ・スマイル・エクスプローラー
「ヘストンのみを表示」を切り替えると、確率的ボラのみの点線カーブが表示されます。2本の線の差がジャンプの寄与分です。
各パラメータの役割
- ボル・オブ・ボル：Heston側のパラメータです。ランダムなボラティリティによるスマイルの曲率を制御します。高いほど、ジャンプがなくてもスマイルが広がります。
- スポット・ボラティリティ相関：確率的ボラティリティ成分によるスキューを制御します。より負の値になるほど、ボラティリティと価格の連動によりプット側のウィングが急峻になります。
- ジャンプ頻度：年間に何回のギャップイベントが発生するかを表します。ゼロなら純粋なHeston、2ならおよそ半年に1回のギャップです。これは両方のウィングを持ち上げます。
- ジャンプスキュー：平均的なジャンプ方向です。負の値ならクラッシュが支配的になります。これは、ローがすでに提供しているスキューに加えて、プット側のウィングをさらに急峻にします。
スキューの2つの源泉
Batesには2つの独立したスキューの源泉があります：
ジャンプスキューは短期側（ウィークリー、7日満期）で支配的となり、バンナ主導の確率的ボラティリティ・スキューは長期側で支配的になります。Batesを使えば、両方の期間構造レジームを捉えることができます。
分解のテクニック
ジャンプ頻度を調整しながらHestonオーバーレイのオン・オフを切り替えると、各メカニズムからどれだけのスキューが生じているかを正確に確認できます。実務のデスクでは、この分解により、スキューのP&Lがボラティリティのダイナミクスから来ているのかイベントリスクから来ているのかがわかります。
各コンポーネントが重要になる場面
Batesを選ぶべき場面
短期のウィングがジャンプに由来し、長期のスキューが確率的ボラティリティに由来するクロス満期プライシング。1つのモデルで2つのレジームに対応できます。
強みと限界
キャリブレーションの警告
7つ以上の自由パラメータがあると、ノイズを含めてほぼ何でもフィットできてしまいます。デスクでは、インプライド・ボラティリティの期間構造からいくつかのパラメータ（カッパ、シータ）を固定し、ボル・オブ・ボル、ロー、ジャンプパラメータのみを日次でキャリブレーションします。すべてのパラメータを同時に自由に動かしてはいけません。
Batesと代替モデルの比較
数式エクスプローラー
数式エクスプローラー
💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。
数学的直観を築く
Batesをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要ですこのレッスンでは、BatesをHeston＋ジャンプとして位置づけ、どのパラメータが 滑らかなスキューを制御し、どのパラメータがギャップリスクを制御するのか、 そしてなぜ短期側が最初に変化するのかを示します。
関連項目：
- Hestonモデル -- Batesが拡張する確率的ボラティリティの基盤
- Mertonジャンプ拡散 -- Batesが追加するジャンプ成分
- 確率的ローカルボラティリティ -- もう一つのプロダクションモデル
- スキュー -- スマイルが傾く理由
- 期間構造 -- 満期ごとにボラティリティがどう変化するか
- SVIパラメータ化 -- バニラ向けのよりシンプルなスマイル・フィッティング
- 補間手法 -- 全手法の比較