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バシュリエ（正規）モデル

バシュリエ（1900年）は最初のオプション価格モデルで、ブラック・ショールズより73年も前に登場しました。価格変化は加法的で、正規分布に従います。パーセンテージのリターン（対数正規）をモデル化するのではなく、バシュリエはドル建ての変化（正規）をモデル化します。価格はマイナスになり得ます。これは株式にとってはバグですが、金利にとっては利点です。

このモデルのパラメータは1つだけです。正規ボラティリティで、絶対値で測定されます（例：「30%/年」ではなく「$50/年」）。スマイルは存在しません。世界がバシュリエ的であれば、すべての行使価格のオプションが同じ正規ボラティリティを持ちます。このフラットなスマイルこそが、モデルの中核的な予測です。

💡
スキューはモデルの産物である場合がある

バシュリエは構造上フラットなスマイルを生みます。その価格をブラック・ショールズのインプライド・ボラティリティに変換すると、スキューが現れます。このスキューは市場に存在するものではありません。正規分布かもしれない世界に、対数正規の数学を無理に当てはめた結果です。

モデルを試す​

フラットな青い破線がバシュリエの見方で、すべての行使価格に1つのボラティリティが適用されます。緑の曲線は、同じオプション価格をブラック・ショールズの尺度で表し直したものです。スポット価格を下げると、見かけ上のBSスキューが急になる様子が確認できます。バシュリエの世界では何も変わっていないにもかかわらずです。

Bachelier vs Black-Scholes エクスプローラー

典型的な設定です。Bachelierのスマイルは定義上フラットです。同じ価格をBSで表し直すとスキューが生じます。
16%22%28%828894ATM106112118行使価格インプライド・ボラBSインプライド・ボラ (%)Bachelier（ノーマル・ボラ）
ノーマル・ボラ20
絶対ボラティリティ（$/年、パーセントではありません）
スポット価格 (S)100
スポットが低いほどBSの見かけのスキューが大きくなります

フラットな青い破線がBachelierの見方で、すべての行使価格に対して1つのボラティリティです。緑の曲線は同じオプション価格をBlack-Scholesの観点で表し直したものです。「スキュー」はモデル上のアーティファクトであり、市場の特性ではありません。

各パラメータの役割​

  • 正規ボラティリティ：唯一のパラメータです。年あたりの絶対価格単位で測定されます（パーセンテージではありません）。正規ボラティリティ20は、価格が1年間で$20動くと予想されることを意味します（1標準偏差）。すべての行使価格に同じボラティリティが適用されるため、スマイルはフラットになります。
  • スポット価格：バシュリエのスマイルは変わりません（フラットのまま）。しかし、BS換算のスマイルには大きく影響します。スポット価格が低いほど、同じドル幅の変動がより大きなパーセンテージの変動になるため、BSのインプライド・ボラティリティが上昇し、見かけ上のプット・スキューが生まれます。

BSの「スキュー」が現れる理由​

何が起きるか
バシュリエの見方
BSの見方
ATMオプションの価格付け
正規ボラティリティをそのまま適用
対数正規ボラティリティはおおよそ normal_vol / spot
OTMプット（低い行使価格）
ATMと同じボラティリティ
低い価格では同じ$の変動がより大きな%の変動になるため、IVが高い
OTMコール（高い行使価格）
ATMと同じボラティリティ
高い価格では同じ$の変動がより小さな%の変動になるため、IVが低い
スポット価格を下げる
スマイルはフラットのまま
曲線全体が上方にシフトし、プット側のウィングが急になる
ℹ️
SABRのベータがバックボーンを決める

SABRのバックボーン（ボラティリティのボラティリティをオフにしたときのスマイル）はベータに依存します。ベータ = 0：バシュリエ。ベータ = 1：ブラック・ショールズ。ベータは、正規と対数正規のスペクトラム上のどこに位置するかを選択します。

バシュリエが使われる場面​

市場
バシュリエを使う理由
正規ボラティリティの単位
金利スワップション
EUR、JPY、CHFで金利がマイナスになりました。BSはゼロで破綻しますが、バシュリエは破綻しません。
bps/年（例：50 bps）
スプレッド・オプション
スプレッドはマイナスになり得ます。加法的なモデルが自然です。
$/年 または bps/年
CDSオプション
クレジット・スプレッドは加法的な変動としてモデル化するのが自然です。
bps/年
暗号資産（ニッチ）
原資産がマイナスになり得るファンディングレート・オプションやベーシス・オプション。
%/年（絶対値）
⚠️
暗号資産のスポット・オプションには不向き

暗号資産のスポット価格はプラスであり、レバレッジ効果（価格が下がるとボラティリティが上がる）を示します。ここでは対数正規の枠組み（ブラック・ショールズ系）のほうが自然です。バシュリエは、金利、スプレッド、その他マイナスになり得るものに適したツールです。

バシュリエとブラック・ショールズの比較​

バシュリエ
ブラック・ショールズ
価格ダイナミクス
加法的（正規）
乗法的（対数正規）
ボラティリティの単位
$/年（絶対値）
%/年（相対値）
マイナス価格
あり（設計上）
なし（負の数の対数は定義されない）
スマイルの形状
定義上フラット
世界が真に対数正規である場合のみフラット
パラメータ
1（正規ボラティリティ）
1（対数正規ボラティリティ）
換算
σ_n ≈ σ_BS × S（ATM付近）
σ_BS ≈ σ_n / S（ATM付近）
用途
金利、スプレッド、CDS
株式、FX、暗号資産スポット

換算式​

ATM付近では、両者を次のように換算できます。

σnormal≈σBS×S\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S

100の株式でBSボラティリティが30100の株式でBSボラティリティが30%なら、正規ボラティリティはおよそ30です。ただし、この近似はATMから離れると成り立たなくなります。バシュリエの価格を換算したときにBSの「スマイル」が現れるのは、まさにこのためです。

💡
定義上フラットなスマイル

バシュリエは価格変化を加法的に扱います。そのスマイルは定義上フラットです。BSの尺度に換算した後に現れるスキューは、モデル選択の産物であり、市場の特徴ではありません。

数式エクスプローラー​

数式エクスプローラー

$
$
日
%
%
コール価格
$8300
プット価格
$7890
コール Δ
0.555
d₁
0.102
ベガ
$114

次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: バシュリエはフラットなスマイルを生むのに、ブラック・ショールズはそうならないのはなぜですか？
Q: バシュリエのオプション価格をBSのインプライド・ボラティリティに変換すると、プット・スキューが現れます。そのスキューはどこから来るのでしょうか？
Q: 暗号資産で、ブラック・ショールズではなくバシュリエを使うのはどのような場合ですか？
Q: ATM付近における正規ボラティリティとBSボラティリティの関係は何ですか？

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的な直感を養う​

バシュリエを基礎から学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、平易な言葉によるメンタルモデルから始め、正規ボラティリティ、価格式、 そしてフラットな正規スマイルをブラック・ショールズの尺度に変換するとスキューとして 現れる理由を順を追って解説します。

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